OBM 2021 - Nível 3 - P1

Problema 1

Sejam $ABCD$ um quadrilátero convexo no plano e $O_A$, $O_B$, $O_C$ e $O_D$ os circuncentros dos triângulos $BCD$, $CDA$, $DAB$ e $ABC$, respectivamente. Suponha que esses quatro circuncentros sejam pontos distintos. Prove que esses pontos não estão em uma mesma circunferência.

Solução por Luca Zanardi:

Note que teremos uma figura como a seguir: (Considere M, N, P, Q pontos médios de AB, BC, CD, DA, respectivamente)

Onde tomamos $O_A$ (Circuncentro de BCD) para ser a intersecção da mediatriz de BC com a mediatriz de CD.

Analogamente, teremos então:

$O_A = m(B, C) \cap m(C, D)$

$O_B = m(C, D) \cap m(D, A)$

$O_C = m(D, A) \cap m(A, B)$

$O_D = m(A, B) \cap m(B, C)$

Dessa forma, note que $\angle O_A O_B O_C = \angle PO_BQ$. Como $\angle DPO_B$, $\angle DQO_B = 90^{o}$, teremos que $\angle O_A O_B O_C = 180 - \angle PDQ = 180 - \angle CDA$. Fazendo uma análise semelhante para $\angle O_C O_D O_A$, obtemos que $\angle O_C O_D O_A = 180 - \angle ABC$. Assim, suponha, por absurdo, que $O_A O_B O_C O_D$ é cíclico. Teríamos que:

$\angle O_A O_B O_C + \angle O_C O_D O_A = 180^{o} \iff 180 - \angle CDA + 180 - \angle ABC = 180$

$\iff \angle ABC + \angle CDA = 180 \iff ABCD$ é cíclico.

Porém, se $ABCD$ for cíclico, $O_A$, $O_B$, $O_C$ e $O_D$ coincidirão todos com o circuncentro de $ABCD$, e não serão pontos distintos, absurdo! Logo, $O_A O_B O_C O_D$ não pode ser cíclico, finalizando a prova.