OBM 2021 - Nível 3 - P6

PROBLEMA 6

Seja $n \ge 5$ inteiro. O polígono convexo $P = A_1A_2 . . . A_n$ é bicêntrico, ou seja, tem círculo inscrito e circunscrito. Defina $A_{i+n} = A_i$ para todo $i$ inteiro (ou seja, todos os índices são tomados módulo $n$). Suponha que para todo $i, 1 \le i \le n$, as semirretas $A_{i-1}A_i$ e $A_{i+2} A_{i+1}$ se encontram no ponto $B_i$. Seja $\omega_i$ o circuncírculo de $B_iA_iA_{i+1}$. Prove que existe um círculo tangente simultaneamente a todos os $n$ círculos $\omega_i, 1 \le i \le n$.

Solução por Caio Hermano:

Sejam $\Omega$, $O$, $\omega$ e $I$ o circuncírculo, o circuncentro, o incírculo e o incentro de $P=A_1A_2 . . . A_n$, respectivamente. Além disso, defina $M_i$ o ponto médio de $A_iA_{i+1}$, $I_i$ o incentro do $\triangle A_iB_iA_{i+1}$, $L_i=B_iI_i \cap \omega_i$ o ponto médio do arco $A_iA_{i+1}$ que não contém $B_i$, $P_i=L_iM_i \cap I_iI_{i+1}$ e, por fim, $Q_i=L_{i+1}M_{i+1} \cap I_iI_{i+1}$.

Primeiramente, note que $O, L_i, M_i$ são colineares, pois estão todos sobre a mediatriz do lado $A_iA_{i+1}$, e $I_i, A_{i+1}, I_{i+1}$ são colineares, pois estão todos sobre a bissetriz externa do ângulo $\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$ de $P$. Ademais, veja que $I$ é o $B_i$-exincentro do triângulo $\triangle A_iB_iA_{i+1}$, pois $\omega$ é tangente ao lado $A_iA_{i+1}$ e às extensões dos lados $A_iB_i$ e $B_iA_{i+1}$. Daí, temos que $L_iI_i=L_iI=L_iA_i=L_iA_{i+1}$, para todo $i=1,2,...,n$.

Sabemos que $I_1L_1=L_1I$ e $I_2L_2=L_2I$, então $L_1L_2$ é base média relativa ao vértice $I$ do triângulo $I_1II_2$. Portanto, $L_1L_2 \parallel I_1I_2$. Dessa forma, perceba que:

$\angle OL_1L_2=\angle OP_1Q_1 =$ $\angle MP_1A_2 = 90-\angle M_1A_2P_1=$ $90-\angle P_1A_2B_1 = 90-\angle Q_1A_2M_2 =$ $\angle M_2Q_1A_2 = \angle OQ_1P_1 = \angle OL_2L_1$ $\Rightarrow \triangle OL_1L_2$ é isósceles $\Rightarrow OL_1=OL_2$.

Analogamente, podemos provar que $OL_i = OL_{i+1}$, para todo $i=1,2,...,n$. Considere, então, $\psi$ a circunferência de centro $O$ e raio $OL_1$. Observe que, $L_i \in \psi$ e $O, L_i, O_i$, em que $O_i$ é o centro de $\omega_i$ são colineares, pois estão todos sobre a mediatriz de $A_iA_{i+1} \Rightarrow \psi$ e $\omega_i$ são tangentes em $L_i$. Portanto, a circunferência $\psi$ é tangente simultaneamente a todas as $n$ circunferências $\omega_i$, para $i=1,2,...,n$ $_{\blacksquare}$