OBM 2022 - Nível 2 - P2

Problema 2:

Os números reais a, b, c são diferentes de zero e cumprem o seguinte sistema de equações:

• $a + ab = c$ $(1)$
• $b + bc = a$ $(2)$
• $c + ca = b$ $(3)$

Determine os possíveis valores de $abc$.

Solução (por Luca Zanardi):

Primeiramente, note que, somando as três equações, obtemos:

$a + ab + b + bc + c + ca = a + b + c \implies ab + bc + ca = 0$ $(4)$.

Considere, para facilitar, que $k = abc$. Multiplicando $(1)$, $(2)$ e $(3)$ por $c, a, b$, respectivamente, obtemos:

• $ca + k = c^2$ $(5)$
• $ab + k = a^2$ $(6)$
• $bc + k = b^2$ $(7)$

Somando $(5)$, $(6)$ e $(7)$, conseguimos que:

$3k + ab + bc + ca = a^2+b^2+c^2 \implies 3k = a^2 + b^2 + c^2$ $(8)$. Podemos somar $0 = 2\cdot 0 = 2(ab + bc + ca)$ dos dois lados para obter:

$3k = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a+b+c)^2$ $(9)$.

Note agora que $0 = 0^2 = (ab+bc+ca)^2 = (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2\cdot ab \cdot bc + 2\cdot bc \cdot ca + 2\cdot ab \cdot ca$ $= (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2k\cdot (a+b+c)$. Como $3k = (a+b+c)^2$ (Em $9$), $a+b+c= \pm \sqrt{3k}$, e chegamos que $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 \pm 2k\cdot \sqrt{3k} = 0$ $(10)$.

Agora, repare que, de $(1)$, $(2)$ e $(3)$, obtemos que:

• $ab = c - a \implies (ab)^2 = a^2 - 2ac + c^2$
• $bc = a - b \implies (bc)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $ca = b - c \implies (ca)^2 = b^2 - 2bc + c^2$

Somando as três equações, obtemos que $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = 2\cdot (a^2 + b^2 + c^2)$, e por $(8)$, $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2 = 6k$. Dessa maneira, em $(10)$, temos:

$6k \pm 2\sqrt{3}\cdot k\sqrt{k} = 0 \implies k = 0$ ou $\pm 2\sqrt{3}\sqrt{k} + 6 = 0$. Dessa última, obtemos que $12k = 36 \iff k = 3$.

Dessa maneira, os únicos valores possíveis para $abc$ são $0$ e $3$.