OBM 2022 - Nível 2 - P4

Problema 4

Na figura, $PQ$ e $BC$ são paralelos, $AB = BC$ e $MB = MC$. Além disso, $\angle CQM = \angle MQP$ e $PQ$ é tangente à circunferência inscrita ao triângulo $ABC$.

Dado que $AQ = 1$, calcule o perímetro do triângulo $ABC$.

Solução por Luca Zanardi:

Considere os seguintes pontos na figura:

Onde $T$ é o ponto de tangência de $PQ$ na circunferência inscrita ao triângulo $ABC$, similarmente $O$ e $N$ tangentes por $AB$ e $AC$, respectivamente. Também, tome $AP = x$.

É fácil ver que o perímetro de $APQ = 2x + 1$ ($AP = PQ$ pois $APQ$ é semelhante a $ABC$). Porém, veja que, como $PT = PO$ e $QT = QN$, $2x + 1 = AO + AN = 2\cdot AN$. Como $ABC$ é isósceles, teremos que $AN = CN = \frac{2x + 1}{2} = x+\frac{1}{2}$ (Pois $N$ é ponto médio de $AC$). Assim, $AC = 2x + 1$ e então o perímetro de $ABC = ($perímetro de $APQ)\cdot(\frac{AC}{AQ}) = (2x+1)^2$, pois $ABC$ e $APQ$ são semelhantes, de razão $\frac{AC}{AQ}$. Dessa maneira, $AB + BC + AC = 4x^2 + 4x + 1$.

Agora, voltando nossa atenção para $QM$ ser a bissetriz de $\angle CQP$, note que $\angle CMQ = \angle MQP$, por ângulos alternos internos, e $\angle MQP = \angle CQM \implies \angle CMQ = \angle CQM \implies CQM$ é isósceles. Assim, $CQ = CM$. Porém, $CQ = AC - AQ = 2x+1 - 1 = 2x$. Logo, $CM = 2x \implies BM = 2x \implies BC = 4x$. Dessa maneira, o perímetro de $ABC = AB + BC + AC = 4x + 4x + 2x+1 = 10x + 1$. Dessa forma, $4x^2 + 4x + 1 = 10x + 1 \implies 4x^2 - 6x = 0 \implies x = 0$ ou $4x - 6 = 0 \implies x = \frac{3}{2}$. Como $x$ é uma distância, teremos que $x = \frac{3}{2}$, e então, o perímetro de $ABC = 10\cdot \frac{3}{2} + 1 = 15 + 1 = 16$.