Escrito por: Raphael Diniz e Pedro Alonso.

 Iniciante

O ideal para encontrarmos os valores de $Q, W, \Delta{U}, \Delta{H}$ no processo é calcularmos esses valores para cada etapa e depois somá-los. Para isto devemos encontrar a temperatura no início da etapa $I$, onde podemos achá-la por meio da lei de Charles:

${P_1\over T_1} = {P_2\over T_2}\longrightarrow {1atm\over T_1} = {5atm\over 300K} \longrightarrow T_1=60K$

$1$: Na etapa $1$ nós temos que o processo ocorre em volume constante, decorrente deste fato podemos concluir que o $W_I$ é igual a zero e também que o $Q_I$ é igual ao $\Delta{U}_I$. Com isto em mente é possível calcular o $\Delta{U}_I$; $Q_I$ e o $\Delta{H}_I$ da seguinte forma:

$Q_I = \Delta{U}_I = n.\bar{cv}.\Delta{T} = 1.{5\over 2}.8,314.(300-60) = 4,9884 kJ$

$\Delta{H}_I = n.\bar{cp}.\Delta{T} = 1.{7\over2}.8,314.(300-60) = 6,98376 kJ$

Resumo dos valores da etapa $I$:

$W_I=0; Q_I=4,9884 kJ; \Delta{U}_I=4,9884 kJ; \Delta{H}_I=6,98376 kJ$

$II$: Na etapa $II$ nós temos que o processo ocorre sem troca de calor com a vizinhança, decorrente deste fato podemos concluir que o $Q_{II}$ é igual a zero e também que o $-W_{II}$ é igual ao $\Delta{U}_{II}$. Com isto em mente é possível calcular o $\Delta{U}_{II}$; $W_{II}$ e o $\Delta{H}_{II}$ da seguinte forma:

$-W_{II}=\Delta{U}_{II}=n.\bar{cv}.\Delta{T}=1.{5\over2}.8,314.(600-300)=6,2355kJ$

$\Delta{H}_{II}=n.\bar{cp}.\Delta{T}=1.{7\over2}.(600-300)=8,7297kJ$

Resumo dos valores da etapa $II$:

$W_{II}=-6,2355kJ; Q_{II}=0; \Delta{U}_{II}=6,2355kJ; \Delta{H}_{II}=8,7297kJ$

Processo total: Neste processo nós podemos somar os valores das etapas $I$ e $II$ para acharmos os valores do processo total. É possível fazer isso normalmente com o $\Delta{H}$ e o $\Delta{U}$ pois eles são propriedades de estado, ou seja, independente do caminho que eles façam, se tiver mesmo estado inicial e final os valores deles sempre serão iguais. Já com o $Q$ e o $W$, nós só podemos fazer isto decorrente que em etapas alternadas do processo descrito o valor deles foi igual a zero, de maneira que restasse apenas a possibilidade de calculá-los em determinadas etapas ao invés de calcularmos no processo como um todo. Desta forma concluímos que os resultados para o processo total serão iguais a:

$W_T=-6,235kJ$;  $Q_T=4,9884kJ$;  $\Delta{U}_T=11,2239kJ$;  $\Delta{H}_T=15,71346kJ$

Intermediário

Para essa questão devemos lembrar que cada grau de movimento de uma partícula tem uma contribuição de ${1\over2}.K.T$ para a energia interna, desta forma devemos lembrar das estrutura de cada composto nos sistemas descritos para assim determinamos os graus de movimento existentes em cada um, para depois somá-los. Sabendo que $K={R\over N_A}$, temos que os termos $K$ serão substituídos por $R$, pois em todos os sistemas temos a presença de $1 mol$ de moléculas e inicialmente iremos calcular o valor para cada partícula. Sabendo que $gmt$ é o grau de movimento translacional e que $gtr$ é o grau de movimento rotacional, temos que a contribuição por mol de cada um será:

$I\longrightarrow H_2 \longrightarrow 3gmt + 2gmr\longrightarrow {5\over2}.K.T$  por  molécula$\longrightarrow {5\over2}.R.T$  por  mol

$II\longrightarrow Ar\longrightarrow 3gmt + 0gmr\longrightarrow{3\over2}.K.T$  por  molécula$\longrightarrow{3\over2}.R.T$  por  mol

$III\longrightarrow CO_2\longrightarrow 3gmt + 2gmr\longrightarrow{5\over2}.K.T$  por  molécula$\longrightarrow {5\over2}.R.T$  por  mol

$IV\longrightarrow C_6H_6\longrightarrow 3gmt + 3gmr\longrightarrow{6\over2}.K.T$  por  molécula$\longrightarrow {6\over2}.R.T$ por  mol

$V\longrightarrow H_2O\longrightarrow 3gmt + 3gmr\longrightarrow{6\over2}.K.T$  por  molécula$\longrightarrow {6\over2}.R.T$  por   mol

Substituindo os valores e alocando os itens em comum em evidência, temos:

$I\longrightarrow{5\over2}R.T\longrightarrow{5\over2}.R.298K\longrightarrow({1\over2}.R).5.298K\longrightarrow({1\over2}.R).1490$

$II\longrightarrow{3\over2}R.T\longrightarrow{3\over2}.R.398K\longrightarrow({1\over2}.R).3.398K\longrightarrow({1\over2}.R).1194$

$III\longrightarrow{5\over2}R.T\longrightarrow{5\over2}.R.398K\longrightarrow({1\over2}.R).5.398K\longrightarrow({1\over2}.R).1990$

$IV\longrightarrow{6\over2}R.T\longrightarrow{6\over2}.R.398K\longrightarrow({1\over2}.R).6.398K\longrightarrow({1\over2}.R).2388$

$V\longrightarrow{6\over2}R.T\longrightarrow{6\over2}.R.298K\longrightarrow({1\over2}.R).6.298K\longrightarrow({1\over2}.R).1788$

Desta forma concluímos que a sequência crescente correta dos itens seria:

$II<I<V<III<IV$

 

 Avançado

a) Como a transformação de A para B é isobárica, $P_A = P_B$. Assim, utilizando a Lei dos Gases ideais:

$V_A = V_B \frac{T_1}{T_2}$

Portanto, as coordenadas de A são:

${A = (\frac{V_B T_1}{T_2} , P_B)}$

Para as coordenadas de B, sabe-se que:

$P_B {V_B}^{\frac{5}{3}} = P_C {V_C}^{\frac{5}{3}}$

Assim, fazendo uma substituição, utilizando a Lei dos Gases ideais, podemos reescrever como:

$(nR T_2) {V_B}^{\frac{2}{3}} = (nR T_1) {V_C}^{\frac{2}{3}}$

Logo:

$V_C = V_B {(\frac{T_1}{T_2})}^{- \frac{3}{2}}$

Aplicando esse valor na equação original:

$P_B {V_B}^{\frac{5}{3}} = P_C {(V_B {(\frac{T_1}{T_2})}^{- \frac{3}{2}})}^{\frac{5}{3}}$

$P_C = P_B {(\frac{T_1}{T_2})}^{ \frac{5}{2}}$

Portanto, as coordenadas de C são:

$C = (V_B {(\frac{T_1}{T_2})}^{- \frac{3}{2}} , P_B {(\frac{T_1}{T_2})}^{ \frac{5}{2}})$

b) Não é possível saber nenhuma informação direta do calor trocado na transformação de A para B, mas é possível descobri-lo utilizando a Primeira Lei da Termodinâmica.

Como U é uma função de estado, sua variação não depende do caminho feito. Assim, a variação de Energia interna de A para A, deve ser a mesma que de A para B, de B para C e de C para A novamente. Ou seja:

$\Delta{} U_{AB} + \Delta{} U_{BC} + \Delta{} U_{CA} = 0$

$\Delta{} U_{CA} = 0$, pois é uma transformação isoterma. Para as outras transformações podemos reescrever a $\Delta{} U$ por $q+w$ em cada caso e isolar o calor de AB. Ou seja:

$q_{AB} = -(q_{BC} + w_{BC} + w_{AB})$

$q_{BC} = 0$, pois a transformação é adiabática. $w_{AB}$ é fácil de calcular, pois é um trabalho a pressão constante, ou seja: $w = -P \Delta{} V$. Já sabemos o valor de $V_A$ e $V_B$ pela questão anterior e assim podemos calcular:

$w_{AB} = -P_B (V_B - V_A) = -P_B (V_B - V_B \frac{T_1}{T_2}) = -P_B V_B (\frac{T_2 - T_1}{T_2})$

O mais difícil de se calcular é $w_{BC}$, pois aqui é necessário o uso de Cálculo. Sabe-se que a forma geral de um trabalho ao longo de uma pressão não constante é: $w = -P dV$.
Para saber o trabalho de BC precisamos então escrever o P nessa transformação em função de uma variável V e fazer uma integral definida dessa função indo de B para C.

A única informação que temos sobre a relação de P e V ao longo dessa adiabática é de que o valor $PV^{\frac{5}{3}}$ é constante. Chamando essa constante de um certo $Z$, podemos reescrever a pressão como: $P = ZV^{- \frac{5}{3}}$. Integrando isso de B para C:

$w_{BC} = \int_{V_B}^{V_C} ZV^{- \frac{5}{3}} dV = (\frac{ZV_C^{1 - \frac{5}{3}}}{1 - \frac{5}{3}}) - (\frac{ZV_B^{1 - \frac{5}{3}}}{1 - \frac{5}{3}}) = - \frac{3}{2} (ZV_C^{\frac{-2}{3}} - ZV_B^{\frac{-2}{3}})$

Porém, lembre-se que havíamos definido Z como a constante de $PV^\frac{5}{3}$ ao longo da adiabática e ambos esses pontos pertencem à essa adiabática. Ou seja, $Z = P_B{V_B}^\frac{5}{3} = P_C{V_C}^\frac{5}{3}$. Substituindo no valor do trabalho calculado, temos que:

$w_{BC} = -\frac{3}{2} (P_CV_C - P_BV_B) = -\frac{3}{2} ((\frac{T_1}{T_2})P_BV_B - P_BV_B) = \frac{3}{2}(\frac{T_2 - T_1}{T_2})P_BV_B$

Colocando os valores na outra fórmula, temos que:

$q_{AB} = -(-P_B V_B (\frac{T_2 - T_1}{T_2}) + \frac{3}{2}(\frac{T_2 - T_1}{T_2})P_BV_B) = -\frac{1}{2}(\frac{T_2 - T_1}{T_2})P_BV_B$

c) A Entalpia é definida como:

$H = U + PV$

Entalpia também é uma função de estado, logo sua variação depende apenas do estado inicial e do estado final. Assim, podemos escrever que, para qualquer transformação:

$\Delta{} H = \Delta{} U + P_fV_f - P_0V_0$

Como no item a) calculamos P e V para todos os pontos e no item b) calculamos $\Delta{} U$ para todas as transformações, poderíamos simplesmente aplicar esses valores para cada transformação e ter a resposta. Esse jeito seria possível, porém um pouco mais trabalhoso. Utilizando algumas propriedades da entalpia podemos resolver isso de um jeito mais rápido, mas as respostas serão as mesmas que calculando formalmente.

Na transformação CA, $\Delta{} U = 0$ e PV é constante ao longo da transformação, logo:

$\Delta{} H_{CA} = 0$

Na transformação AB, a pressão é constante. Assim, o termo $P_fV_f - P_0V_O = P\Delta{} V$. Porém, esse termo é exatamente o oposto do trabalho realizado nessa transformação. Dessa forma o termo de trabalho e o termo de PV se cancelam e a entalpia é igual ao calor dessa transformação. Isso é uma propriedade importante da entalpia: a pressão constante, ela é sempre igual ao calor. Nós calculamos o calor de AB no item B, logo:

$\Delta{} H_{AB} = -\frac{1}{2}(\frac{T_2 - T_1}{T_2})P_BV_B$

Como entalpia é uma função de estado, podemos fazer o mesmo que fizemos para a energia interna no item b) para isolar a entalpia de BC:

$\Delta{} H_{AB} + \Delta{} H_{BC} + \Delta{} H_{CA} = 0$

$\Delta H_{BC} = -(\Delta H_{AB} + \Delta H_{CA})$

Substituindo os valores de entalpia já calculados:

$\Delta H_{BC} = \frac{1}{2}(\frac{T_2 - T_1}{T_2})P_BV_B$