OBM 2021 - Nível 2 - P5

Uma tripla de inteiros $(a$,$b$,$c)$ é chamada de miranha se

$\cdot\ a$ divide $bc+1$

$\cdot\ b$ divide $ac+1$

$\cdot\ c$ divide $ab+1$

Determine todas as triplas miranhas.

Solução (Por Matheus Alencar):

Veja que os números tem que ser dois a dois primos entre si, pois se, sem perda de generalidade, $d=mdc(a,b)>1\implies d\mid a\mid bc+1\implies d\mid 1\rightarrow Abs$

Daí, temos que $a\mid ab+bc+ca+1$. Analogamente, $b\mid ab + bc + ca+1$, $c\mid ab + bc + ca + 1$

$\implies abc\mid ab+bc+ca+1$

Daí $\frac{ab+bc+ca+1}{abc}\in \mathbb{Z}$

Vamos assumir sem perda de generalidade que $a\ge b\ge c$. Se $c\ge 4$, então

$\frac{ab+bc+ca+1}{abc}\le \frac{ab+ab+ab+1}{4ab}=\frac 34 + \frac 1{ab}<1$

$\implies c<4$

Se $c=3$

$\frac{ab+3b+3a+1}{3ab}\le \frac{3ab+1}{3ab}<2\implies 3ab=ab+3a+3b+1\implies 2ab=3a+3b+1$

$\implies 3(2a-3)\le b(2a-3)=3a+1\implies 3a\le 10\implies a<4\implies a\le 3\implies a=b=c=3\rightarrow Abs$

Se $c=2$

Como $a,b>1\implies a\neq b\implies$

$a\mid 2b+1\implies 2a>2b+1\ge a\implies a=2b+1$

$b\mid 2a+1=2(2b+1)+1\implies b\mid 3\implies b=3\implies (a,b,c)=(7,3,2)$, que funciona!

Se $c=1$:

$\implies a\mid b+1\implies a\ge b\ge a-1$

Se $b=a\implies a\mid b+1\rightarrow a\mid 1\implies a=1\implies (a,b,c)=(1,1,1)$

Se $b=a-1\implies a-1\mid a+1\implies a-1\mid 2 \implies a-1=1$ ou $2$. Então $a=2$ ou $3$, o que nos dá as soluções $(a,b,c)=(3,2,1)$ e $(a,b,c)=(2,1,1)$ que funcionam!

Logo, as soluções são $(a,b,c)=(7,3,2)$, $(1,1,1)$, $(3,2,1)$ ou $(2,1,1)$ e suas permutações.