Matrizes de Rotação

Por Bruna Lopes

Até agora, já vimos diversas formas de indicar a posição angular de objetos em diferentes tipos de sistemas de coordenadas. Mas, se existem tantos sistemas de referência que podemos adotar, já alguma forma de relacioná-los de acordo com a nossa vontade? Vamos ver, ao longo desse tópico, uma forma de transformar coordenadas em um determinado sistema para outro utilizando cálculo com matrizes.

Consideremos o Sistema de coordenadas S=(O,E) esquematizado, onde O é o ponto (0,0,0) e $E=(\vec i, \vec j, \vec k)$ é base canônica (ortonormal). Vamos tomar, inicialmente, o ponto P como tendo coordenadas iniciais P=(x,y,z), onde z=0. O ângulo entre $\vec{OP}$ e Ox é, inicialmemte, $\phi$.

Se aplicarmos uma rotação em tal sistema S=(x, y, z), teremos um novo sistema, que vamos chamar de S'=(x', y', z'). Esse novo sistema de coordenadas, por sua vez, possui Oz=Oz' e Ox' e Oy' deslocados de um ângulo $\theta$, em sentido anti-horário com relação aos eixos iniciais. Assim, o ponto P, que possuia coordenadas (x, y, z) no início, também será rotacionado e terá, no final, coordenadas (x', y', z') que, como veremos, podem ser facilmente relacionadas. Vamos esquematizar:

Temos que as novas coordenadas podem ser obtidas por apenas geometria simples. Dado que $\vec{OP}=\vec{r}$ e que $r^2=x^2+y^2$, então, em função dessa distância, podemos obter as coordenadas para os dois sistemas

$x=r\cos{\theta}$

$y=r\sin{\theta}$

$z=z$

$x'=r\cos{\theta+\phi}$

$y'=r\sin{\theta+\phi}$

$z'=z$

Lembrando que o seno e o cosseno de uma soma de ângulos é, respectivamente dado por $\sin(a+b)=\sin a \sin b+ \sin b \cos \$ e $\cos(a+b)= \cos a \cos b - \sin a \sin b$, podemos substituir nas relações e encontraremos:

$x=r\cos{\theta}$

$y=r\sin{\theta}$

$z=z$

$x'=r\cos{\theta}\cos{\phi} - r\sin{\theta}\sin{\phi}$

$y'=r\sin{\theta}\cos{\phi}+r\sin{\phi}\cos{\theta}$

$z'=z$

$\Longrightarrow$

$x=r\cos{\theta}$

$y=r\sin{\theta}$

$z=z$

$x'=\cos{\phi}x - \sin{\phi}y$

$y'=\sin{\phi}x+\cos{\phi}y$

$z'=z$

Podemos escrever as coordenadas do ponto P em forma matricial, também. Podemos notar que :

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$

Onde

$\begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$=R_z(\phi)$

chamamos de Matriz de Rotação ao redor do eixo z. Temos resultados semelhantes para demais rotações ao redor dos outros eixos, as quais não demonstraremos pois o processo é análogo ao que fizemos para a rotação ao redor de Oz.

$R_x(\phi)= \begin{bmatrix} 1 &0 & 0 \\ 0 & \cos \phi &-\sin \phi \\ 0 & \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}$

 

$R_y(\phi)= \begin{bmatrix} \cos \phi1 &0 &-\sin \phi \\ 0 & 1 &1 \\ \sin \phi & 0 & \cos \phi \end{bmatrix}$

 

$R_z(\phi)= \begin{bmatrix} \cos \phi &-\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$