Astronomia - Semana 102

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

O professor Clafique estava acampando na tranquila Avenida Paulista com seu grupo de escoteiros. No meio desse passeio, a Lua estava totalmente iluminada, porém havia muitas nuvens no céu. O escoteiro lobinho sugeriu ao professor que tirasse uma foto da Lua, porém Clafique havia esquecido seu celular e só tinha uma câmera antiga no acampamento. Considere que a magnitude aparente da lua cheia em um dia limpo é $m_0 = -12,74$ . No dia em questão, a Lua estava coberta por uma nuvem de profundidade óptica $\tau = \ln (12)$ . Para a câmera registrar a Lua com qualidade, ela precisa capturar $4 \times 10^{14}$ fótons. Supondo que na Avenida Paulista, o professor consiga ficar com a câmera por $7$ minutos antes de ser roubado, responda:

$i)$ Qual a magnitude da Lua após ser ocultada pelas nuvens?

$ii)$ Em quanto tempo o professor conseguiria tirar a foto? Ele consegue tirá-la antes de ser roubado?

Considere que todos os fótons da Lua e do Sol são emitidos somente na banda visível ( $\lambda = 550 \text{ nm}$ ) e que a câmera possui abertura $D = 50 \text{ mm}$ .

Dica

Quando um fluxo de luz é bloqueado por um meio com profundidade óptica $\tau$ , temos a seguinte relação:

$F = F_0e^{-\tau}$

[collapse]

Intermediário

a) Um dos corpos celestes mais famosos da atualidade é o Cometa Halley. Este possui período de $P = 75,3 \text{ anos}$ , massa $m = 2,2 \times 10^{14} \text{ kg}$ , periélio $p = 0,59 \text{ UA}$ e albedo $\alpha = 0,04$ . Para o nosso estudo simplificado, vamos considerar que este é uma esfera perfeita de raio $R = 6 \text{ km}$ formada $90 \text{%}$ por gelo e o restante por rochas. Inicialmente, ele se encontra no seu afélio com temperatura $T_0 = 0 \text{ K}$ . A partir de um determinado ponto de sua órbita, é possível observar a sua "cauda". Determine a distância entre o cometa e o Sol neste ponto e explique o motivo desse fenômeno ocorrer. No espaço, devido à pressão extremamente baixa, a temperatura de sublimação do gelo é de aproximadamente $T = 200 \text{ K}$ .

b) Calcule o valor médio da energia absorvida pelo cometa em torno da sua órbita.

Dica

O valor médio de $x$ em um determinado tempo é dado por:

$\left \langle x \right \rangle = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_1} ^{t_2} x \ dt$

[collapse]

c) Devido à absorção de calor do Sol, o cometa um dia perderá a sua cauda. Calcule o número de órbitas que o cometa ainda pode realizar antes de perdê-la.

Dados: Calor latente do gelo $c_L = 337 \text{J/g}$

Avançado

Nesse dia 30, será comemorado o Asteroid Day. Em homenagem a esse dia, este problema será dedicado a estudar asteroides e o que eles podem causar a nós. Stephen Hawking, em seu último livro "Brief Answers to the Big Questions", considerou a colisão de asteroides a maior ameaça ao planeta. Vamos entender o porquê deste cientista ter feito tal afirmação e estudar alguns métodos de calcular fatores sobre as órbitas desses objetos.

a) Um dos possíveis métodos de desviar um asteroide é colidindo com ele, alterando a sua órbita. Uma analogia simplificada pode ser feita usando bolas de bilhar. Imagine a seguinte situação: uma bola de bilhar possui massa $M$ e velocidade $\mathbf{V} = 0$ ; uma outra bola, de massa $m$ e velocidade $\mathbf{v} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y}$ , colide com a outra. Considerando os seguintes cenários: uma colisão perfeitamente elástica e uma colisão perfeitamente inelástica. Em qual dessas situações o desvio na trajetória da bola de massa $M$ (equivalente ao asteroide em nossa analogia) é maior?

b) Para este item, considere o modelo que apresentou maior desvio na trajetória do item anterior, sistemas de coordenadas em que o eixo $x$ cruza o equador e é perpendicular ao o eixo $y$ , que cruza os polos geográficos, ambos passando pelo centro da Terra, e a seguinte situação fictícia: Um asteroide de massa $M = 5 \times 10^{23} \text{kg}$ e raio $R = 50 \text{ km}$ vem em direção à Terra pelo eixo $x$ com velocidade $\mathbf{V} = 7 \hat{x} \text{ km/s}$ , ameaçando extinguir toda a vida na Terra. Porém, nosso super-herói Dudu T. possui superforça e consegue arremessar a Oceania, sim, o continente inteiro, de massa $m = 9 \times 10^{20} \text{kg}$ , para desviar o asteroide. A velocidade máxima que Dudu T. consegue arremessar o continente é $v = 2 \times 10^4 \text{ km/s}$ e, no momento em que a Oceânia colide com o asteroide, sua distância até a Terra é de $d = 0,7 \text{UA}$ . Qual deve ser a latitude mínima em que Dudu T. deve estar para que o asteroide seja desviado? Desconsidere efeitos gravitacionais e o movimento de translação da Terra.

Bom, agora que já sabemos como desviar asteroides, vamos treinar como rastreá-los.

c) O asteroide H4-RA descreve uma órbita aproximadamente parabólica ao redor do Sol de tal maneira que, no momento de sua descoberta, o ângulo $\alpha$ representado na imagem abaixo é $\frac{3}{4}\pi$ .

Figura 1: representação gráfica

Dadas as informações do problema, calcule quanto tempo, em anos, o asteroide levará para ir de sua posição inicial até seu periélio, representado pelo ponto A $^1$ .

Para resolver essa questão você precisará usar a seguinte integral:

$\int \frac{d\theta}{(1+\cos (\theta))^2}$

É de extrema importância que o estudante tenha métodos para resolver as temidas "Somas de PG's" cobradas nas etapas mais avançadas dos treinamentos. Um método interessante para resolver a mesma é utilizando alguma substituição trigonométrica que elimine o 1 do denominador. Pense em como fazer isso, ou, com outras palavras, como escrever $\cos (\theta)$ como algo que te ajudaria? Caso você não tenha um contato mais próximo com cálculo, no último spoiler há a resolução da integral.

Vale lembrar também que esse não é o único método para resolver esse exercício, que poderia ser feito modelando a curva como uma função no plano cartesiano em vez de no plano polar e integrando. No caso, modelaríamos de modo que a função fosse do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$ e $f(x') = 0$ quando $x'$ for a posição do cometa no momento inicial e integraríamos de $0$ até $x'$ e depois subtrairíamos um triângulo e teríamos a área varrida pelos vetores. A forma polar das cônicas é muito útil para esse tipo de questão por oferecer uma abordagem mais direta. Em ambas as soluções seriam necessários conhecimentos avançados em cálculo e domínio de funções.

[collapse]

Dica

Lembre-se da Segunda Lei de Kepler em sua forma diferencial e pense em qual é a área da parábola compreendida em um ângulo $d\theta$ .

[collapse]

Resolvendo a integral

Temos que $1+ \cos (\theta) = 1 + \cos ^2(\frac{\theta}{2})- \sin ^2(\frac{\theta}{2})$ e, utilizando a identidade trigonométrica $\sin ^2(x) + \cos ^2(x) = 1$ , temos que $1 - \sin ^2(x) = \cos ^2(x)$ , reduzindo a expressão para $1+\cos (\theta) = 2 \cos ^2(\frac{\theta}{2})$

$\int \frac{d\theta}{(1+\cos (\theta))^2} = \frac{1}{4}\int\sec ^4(\frac{\theta}{2}) d\theta$

Podemos expandir $\sec ^2 x = 1 + \tan ^2x$ , temos que $\frac{1}{4}\int\sec ^4(\frac{\theta}{2}) d\theta = \frac{1}{4}\int (1+ \tan^2 (\frac{\theta}{2}))^2 d\theta$

A partir daqui, a integral se torna mais amigável para resolver-se. Tomando $u = \tan (\frac{\theta}{2})$ , temos que $\frac{du}{d \theta} = \frac{d}{d\theta} \tan (\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{2} \sec ^2 (\frac{\theta}{2})$ . Portanto $d\theta = 2 \cos ^2 (\frac{\theta}{2}) du$

e, utilizando a propriedade anterior, temos que $\cos ^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{\sec ^2 (\frac{\theta}{2})} = \frac{1}{1 + \tan ^2(\frac{\theta}{2})} \equiv \frac{1}{1+u^2}$
De maneira matemática:

$\int \frac{d\theta}{(1+\cos (\theta))^2} = \frac{1}{4}\int\sec ^4(\frac{\theta}{2}) d\theta =\frac{1}{4}\int (1+ \tan^2 (\frac{\theta}{2}))^2 d\theta = \frac{1}{4}\int (1+ u^2)^2 d\theta$

$=\frac{1}{4}\int (1+ u^2)^2 2 \cos ^2 (\frac{\theta}{2}) du \equiv \frac{1}{2}\int (1+ u^2)^2 \frac{1}{1+u^2} du =$

$\boxed{\frac{1}{2}\int (1+ u^2)du}$

Essa integral pode ser facilmente resolvida, resultando em:

$\boxed{\frac{1}{2}u + \frac{1}{6}u^3 + C}$

Agora basta substituir $u = \tan (\frac{\theta}{2})$ , resultando em:

$\boxed{\frac{1}{2}\tan (\frac{\theta}{2}) + \frac{1}{6}\tan ^3(\frac{\theta}{2}) + C}$

[collapse]

d) H4-RA é um asteroide aproximadamente esférico de raio $R = 50 \text{ km}$ e um albedo de $A = 0,4$ . Qual será sua magnitude aparente no momento de maior aproximação com a Terra e a partir de quanto tempo da primeira detecção (representada no item anterior) era possível observá-lo a olho nu em um local com condições ideais? Considere que, no momento inicial representado pela imagem do item anterior, o ângulo $\angle Terra-Sol-A$ é de $\theta = \frac{2}{3} \pi$ .

Dica

Você consegue descrever a distância entre a Terra e H4-RA usando somente uma lei dos cossenos e com relações angulares já conhecidas.

[collapse]