Astronomia - Semana 103

Escrito por Davi Lucas 

Iniciante

Trufas roubadas.

O Sr. Trufa está perseguindo um bandido que roubou algumas de suas deliciosas sobremesas. A perseguição acontece no equador do planeta Iuam, que possui massa $M = 7.31\times 10^{22} \, \rm{kg}$ e raio $R = 1.94 \times 10^{5} \, \rm{m}$. Trufa atingiu uma velocidade $v$ tão alta que não toca os pés no chão e continua em movimento. Determine o valor mínimo de $v$.

Intermediário

Romene mais leve

O astrônomo Romene está comemorando seu 22º aniversário, e seu colega MaxBad quer lhe dar um presente especial. Recentemente, Romene mencionou que estava sem dinheiro para frequentar uma academia. Para inovar, MaxBad decidiu presenteá-lo com uma viagem a um lugar onde o peso do aniversariante seria diferente devido à variação da gravidade efetiva. As opções são Belo Horizonte ($\phi = 19.91^{\circ} S$, $\lambda = 43.94^{\circ} O$) e Fortaleza ($\phi = 3.72^{\circ} S$, $\lambda = 38.54^{\circ} O$). MaxBad acredita que a experiência de sentir-se mais leve será interessante e inesquecível para Romene. Considerando que a velocidade angular da Terra $w$ é baixa, ajude MaxBad a escolher o local da viagem e justifique sua escolha com cálculos.

Avançado

Hiratinha com dor de cabeça

O astronauta CJ disparou um laser superpotente em direção à Georgia Tech, onde sua amiga Hiratinha estava. CJ queria avisá-la que havia encontrado água em Marte, mas acidentalmente acertou a cabeça dela com o laser. Ao ser atingida, Hiratinha ficou curiosa para descobrir a origem da luz e qual era a pressão do impacto do laser em sua cabeça. Infelizmente, Hiratinha não tinha conhecimento técnico suficiente para resolver essa questão, então você a ajudará a desenvolver os cálculos necessários nos próximos itens.

a) O raio de luz do laser atingiu a atmosfera da Terra, onde sofreu reflexão e refração. Segundo Hiratinha, o primeiro passo necessário era modelar a atmosfera como um gás ideal para analisar suas influências ópticas. No entanto, para isso, ela precisava determinar a variação da pressão ao longo da atmosfera. Sabendo que a aceleração da gravidade é $g$, ajude Hiratinha encontrando $\frac{dP}{dr}$.

b) Além disso, Hiratinha precisará determinar a densidade de certas camadas específicas, como a mesosfera, nos próximos itens. Portanto, ao modelar a atmosfera como um gás que passa por transformações adiabáticas, encontre uma relação entre a pressão e a densidade em distintas camadas, em função do coeficiente de Poisson $\gamma$.

c) Um dos feixes de luz de CJ conseguiu a proeza de parar de se refratar e se prender em um movimento circular a uma altura $h$ do centro da Terra. Hiratinha percebeu que, ao determinar o ângulo de incidência $\beta$ na mesosfera, poderia identificar de onde CJ estaria atirando. Continuemos com o modelo adiabático da atmosfera, assumindo a atmosfera como um gás ideal com massa molar $\mu$ e temperatura $T_0$ ao nível do mar. Além disso, sabendo que a Terra e toda a sua mesosfera estejam contidas em uma esfera de raio $r$, e que o índice de refração $n$ seja proporcional à densidade $\rho$, determine $\beta$.

Parabéns! Hiratinha analisou o ângulo $\beta$ que você encontrou e descobriu que CJ estava em Marte.

Agora ela quer esclarecer outra dúvida: qual a força exercida sobre sua cabeça. No próximo item, você pode considerar a constante solar $F_{\odot}$ e a magnitude do Sol $m_{\odot}$.

d) Supondo que o feixe que atingiu a cabeça de Hiratinha também tinha um ângulo de incidência $\beta$, que a atmosfera da Terra é equivalente a uma fina camada de albedo $\alpha$, e que a magnitude aparente do laser é $m$, determine a pressão $P$ causada pelo laser na cabeça de Hiratinha.