Astronomia - Semana 105

Escrito por Lucas Cavalcante

Iniciante

Perdido

MaxBom, em uma de suas caminhadas para se exercitar, acabou se perdendo no meio de uma floresta. No entanto, muito conhecedor de Astronomia, ele sabe as coordenadas da estrela Arcturus ($\alpha = 14 h \; 16 min$ e $\delta = +19,2^{\circ}$) e resolve observar a altura dela ao passar por sua culminação superior, encontrando $h = 55^{\circ}$. Além disso, ele também possui um relógio que marca o tempo sideral de Greenwich, e, ao observá-lo no momento que Arcturus está culminando, o relógio marca $6h \; 16min$. Com essas informações, ajude MaxBom a encontrar as coordenadas do local em que está e poder voltar para casa.

Intermediário

Ondas Gravitacionais

Um dos fenômenos mais impressionantes já comprovados que é um resultado da relatividade geral de Einstein são as ondas gravitacionais. Além disso, a descoberta dessas perturbações do espaço-tempo podem trazer uma nova forma de se enxergar o universo que não seja pelas ondas eletromagnéticas, um método que impede a visualização de objetos que não as emitem. Portanto, nessa questão iremos trabalhar um pouco sobre esse fenômeno tão interessante da relatividade geral. No decorrer da questão, estudaremos sobre ondas gravitacionais emitidas por um sistema binário com órbitas circulares onde seus elementos possuem massas $M_1$ e $M_2$ e estão afastados por uma distância $r$.

a) Encontre a energia total e o período do sistema binário analisado.

b) Pela relatividade geral, pode-se chegar na seguinte expressão, que mostra a perda de energia pela emissão de ondas gravitacionais:

$$\dfrac{dE_{sist}}{dt} = -\dfrac{32G^4}{5c^5r^5}(M_1M_1)^2(M_1+M_2)$$

A partir dessa expressão e da expressão para a energia do sistema encontrada no item anterior, encontre uma expressão para a varição da distância entre os elementos desse sistema binário, ou seja, encontre o $\dfrac{dr}{dt}$ do sistema binário.

c) Encontre uma expressão para o tempo de colapso do sistema, desconsiderando efeitos relativísticos que possam surgir quando os elementos estiverem muito próximos.

d) Por fim, encontre uma expressão para o comprimento de onda das ondas gravitacionais emitidas por esse sistema quando seus elementos estão a uma distância $r$ entre si.

Avançado

Órbitas e Energias Potenciais

Nessa questão analisaremos como diferentes tipos de energias potenciais podem afetar a órbita de astros. No decorrer da questão, o sistema trabalhado será o mesmo e formado por um corpo central e um corpo de prova com massa $m$, momento angular $L$, distância $r$ do corpo central e período orbital $T$.

Na mecânica clássica, a energia potencial gravitacional é dada por um potencial da forma:

$$V_{(r)} = -\dfrac{\alpha}{r}$$

a) A partir da expressão para a energia potencial gravitacional existente em uma órbita apresentada anteriormente, encontre uma expressão para a energia total do sistema trabalhado.

b) Se utilizarmos o sistema de coordenadas polares é possível escrever a velocidade do corpo como:

$$v^2 = \dot{r}^2 + (r\dot{\theta})^2$$

Em que $\theta$ se refere a coordenada polar, ou seja, ao ângulo formado entre o vetor posição e o eixo de referência. Utilizando a conservação do momento angular em um sistema onde há apenas a atuação de uma força central, encontre uma expressão para a velocidade em termos de $\dot{r}$, $L$, $m$ e $r$, e substitua essa expressão na energia do sistema.

c) A expressão encontrada no item b mostra que a energia é formada por um termo que depende da velocidade ($\dot{r}$) e outro termo que depende apenas da distância entre os corpos, esse termo que depende apenas da posição é chamado de energia potencial efetiva do sistema. Esboce o gráfico desse potencial e encontre o raio da órbita circular para esse sistema, sabendo que esse raio equivale á posição de equilíbrio do sistema, ou seja, quando seu potencial efetivo é mínimo.

Com a relatividade geral, um novo termo foi adicionado ao potencial gravitacional, tornando a energia potencial gravitacional da forma:

$$V_{(r)} = -\dfrac{\alpha}{r} + \dfrac{\beta}{r^2}$$

d) Agora, com esse novo formato da energia potencial do sistema analisado, encontre o novo raio de órbita circular assumido por ele.

Como o termo que depende de $r^2$ é uma correção relativística o valor da constante $\beta$ é extremamente pequeno, fazendo com que, no Sistema Solar, esse potencial seja relevante apenas no planeta Mercúrio. Ainda, é essa correção que torna possível o efeito da precessão de periélio sofrida pelo planeta. No decorrer do problema, abordaremos sobre a frequência dessa precessão.

e) A partir da expressão para a energia do sistema, percebe-se o surgimento de um novo termo que depende de $r^2$ que não existia no caso clássico, escreva esse termo da forma que se chegue em uma expressão no formato de:

$$E = \dfrac{m\dot{r}^2}{2}-\dfrac{\alpha}{r} + \dfrac{L_{eff}^2}{2mr^2}$$

E encontre a expressão para $L_{eff}$. Considere que $2m\beta \ll L^2$.

f) Com a existência desse termo de momento angular efetivo, é possível inferir a existência de um outro movimento rotacional além do movimento orbital, sendo esse movimento a precessão de periélio do corpo de prova. Sabendo que o $L_{eff}$ será a soma do momento angular orbital e do momento angular da precessão, encontre uma expressão para a frequência da precessão de periélio.