Astronomia - Semana 108

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

Certa tarde, Deduardo Letodo, avistou um objeto não reconhecido no céu e pediu a sua ajuda para estimar a distância do objeto até a superfície da Terra. Deduardo, possui todo conhecimento de astronomia de posição existente, mas no momento estava jantando na Sorveterita e decidiu deixar para você todo o trabalho.

Eduardo apenas enviou as coordenadas do objeto medidas por ele e elas foram: Altura $h_1 = 39,21^{\circ}$ e azimute $A_1 = 1\text{h } 4\text{m } 16,8\text{s }$. Imediatamente, você pega seu astrolábio e bússola e mede $h_2 = 38,77^{\circ}$ e $A_2 = 53\text{m }43,2\text{s}$. Sabendo que a distância entre você e Deduardo é de $50\;\text{km}$ calcule a distância do objeto até a superfície da Terra.

 

Intermediário

Um dos métodos mais utilizados para descobrir a localização de poços de petróleos e lençóis freáticos é medir o campo Gravitacional na superfície. O intuito dessa questão é entender esse fenômeno: Como uma anomalia na massa abaixo da superfície afeta a gravidade na superfície de um planeta?

a) Primeiramente, precisamos entender conceitos importantes para compreender o funcionamento do campo gravitacional. Prove que dentro de uma casca esférica de densidade superficial $\sigma$ é nula.

b) Agora Imagine a seguinte situação: 3 corpos massivos de massas $M_1$, $M_2$ e $M_3$ estão posicionados cada um em um vértice de um triangulo equilátero de lado $l$. Qual a aceleração devido a presença dos 3 corpos no baricentro do triângulo?

O objetivo do item anterior é mostrar que o princípio de superposição se aplica ao campo gravitacional, ou seja, na presença de 2 ou mais massas, o campo em um ponto $p$ é dado por:

$$\vec{g}_{P} = \vec{g}_{1P}+\vec{g}_{2P}+\cdot\cdot\cdot +\vec{g}_{nP}$$

Ou seja:

$$\boxed{\vec{g}_{P} = \Sigma_{i=1}^n\vec{g}_{iP}}$$

Voltando agora ao enunciado da questão, o item a) nos diz que a gravidade dentro de uma casca é nula, o item b) nos diz que campos gravitacionais se somam. O que podemos concluir disso?

c) Considere um planeta com densidade constante $\rho$ e raio $R$, exceto por uma cavidade esférica concêntrica de raio $r$ ($R>r$). Calcule a intensidade do campo gravitacional a uma distância $a$ onde $a>R$.

d) Agora pense em um sistema equivalente a esse, composto por um planeta de raio $R$ e densidade $\rho$ (sem cavidade) e outro corpo, para que o valor do campo gravitacional a uma distância $a$ seja exatamente a mesma. Como deve ser esse sistema? (Dica: a massa pode ser negativa, tendo em vista que o sistema equivalente não é algo "real").

e) Utilizando esse conceito de sistema equivalente e o conceito de superposição, calcule o campo gravitacional no ponto $a (R , 0)$ em um planeta que possuí massa total $M$ e densidade uniforme, exceto por uma cavidade esférica de raio $r$ ($R>r$) e centro $C (d,0)$.

 

Avançado

(Questão adaptada da Lista 3 dos Treinamentos de 2024)

O ambiente interestelar é composto majoritariamente por vácuo. Como o vácuo não serve como meio de troca de calor, podemos afirmar que as transformações termodinâmicas que ocorrem dentro de estrelas são adiabáticas, i.e.: $PV^{\gamma} = k$ onde $k$ é constante e $\gamma$ o coeficiente de Poisson.
O objetivo desta questão é descobrir o valor mínimo de $\gamma$ de uma estrela para que ela se mantenha em funcionamento. Para essa questão vamos considerar que todo o gás citado é ideal e monoatômico.

Um dos jeitos mais práticos de encontrar $\gamma_{min}$ para que a estrela seja ativa é considerar um modelo em que toda massa da estrela $M$ está concentrada em seu centro, envolta por uma casca esférica de gás, concêntrica, com massa $m$ e raio $R$ igual o da estrela.

a) No equilíbrio Hidrostático, a pressão deve ser nula na superfície da estrela. Para que isso seja verdade, qual deve ser a pressão exercida pela camada de gás?

b) Após uma perturbação, o Raio da estrela toma forma $R' = R + \delta R$, consequentemente, sua pressão varia para $P' = P + \delta P$. Encontre uma expressão para $\delta P$ em função de $M$, $m$, $R$, $\delta R$ e $\gamma$.
Se necessário utilize que $(1+x)^n \approx 1+nx$.

c) Neste modelo $\gamma_{min}$ é aquele em que, após essa oscilação a estrela iniciara um M.H.S. Encontre o valor de $\gamma_{min}$ e o período de oscilações da estrela.

O próximo modelo a ser estudado é a estrela como uma esfera de gás de densidade $\rho (r)$ dependendo somente da distância radial, possuindo massa total $M$ e raio $R$.

d) Encontre uma fórmula para a variação de pressão em relação ao raio, ou seja $\frac{dP(r)}{dr}$.

e) Assumindo pressão nula na superfície, demonstre que a energia potencial da estrela é dada por:

$$U = -3\int_0^{V(R)}dW$$

onde $W$ representa o trabalho que a estrela realiza sobre si mesma.

f) Prove que a pressão pode ser representada por $P= \sigma \rho (\gamma -1)$ onde $\sigma$ é a energia por unidade de massa da estrela.

g) Seja $K$ a energia cinética da estrela devido ao movimento das partículas de gás, mostre que $K$ se relaciona com $U$ da seguinte forma:

$$U = -3(\gamma-1)K$$

Após isso, encontre o valor para a energia total $E$ da estrela em função de $U$ e $\gamma$.

h) Com isso, conclua qual deve ser o valor de $\gamma_{min}$ para que a estrela se mantenha em funcionamento.