Astronomia - Semana 111

Escrito por Lucas Cavalcante

Iniciante

Observação de Obazs Rotieh

O cientista maluco Obazs Rotieh estava desenvolvendo uma nova invenção que lançava fótons a partir do decaimento de méson $\pi^0$, e ele estava com dificuldade para calcular algumas informações desse decaimento, então pediu a sua ajuda.

Um méson $\pi^0$ com massa de repouso $m_0$ decai em dois fótons seguindo a equação $\pi^0 \rightarrow 2\gamma$. Chame $\theta_1$ e $\theta_2$ os ângulos que a trajetória dos fótons fazem com a trajetória original do méson no referencial do laboratório de Obazs Rotieh. Considere que a energia total do méson no referencial do laboratório é $E$, encontre:

a) as energias $E_1$ e $E_2$ de ambos os fótons em função de $E$, $m_0$, $\theta_1$ e $\theta_2$.

b) a velocidade $v$ do méson no referencial do laboratório na situação e que um fotón possui a maior energia possível $E_{\text{max}}$, enquanto o outro possui a menor energia $E_{\text{min}}$. Expresse a resposta em função de $E_{\text{max}}$, $E_{\text{min}}$ e a velocidade da luz $c$.

Intermediário

O Sol é um ácido ?

O pH, ou potencial hidrogeniônico, é uma característica de misturas de substâncias que indica o qual ácido ou básico essa mistura pode ser e é definida como $\text{pH} = -\log \left[ H^+ \right]$, onde $\left[ H^+ \right]$ é a concentração do íon $H^+$ na mistura em $mol/L$. Esse potencial pode ser associado a uma estrela, como o Sol, uma vez que o principal processo para a liberação de energia envolve a fusão de hidrogênio em hélio, a qual gera $26,73$ MeV, dos quais $97,7\%$ são utilizados para a luminosidade emitida pela estrela. Considerando que $70\%$ da massa total do Sol é formada por hidrogênio, seu tempo de vida atual é de $4,6$ bilhões de anos, sua luminosidade e raio permaneceram constantes durante esse tempo encontre o pH do Sol no momento de sua formação.

Avançado

Vetores

Muitas vezes, as fórmulas de trigonometria esférica podem ser longas, difíceis de memorizar ou até complicadas de aplicar e visualizar em determinadas situações. Nesse contexto, uma ferramenta bastante útil para substituir essas fórmulas são os vetores e as operações vetoriais. Assim, esta questão irá abordar as principais operações com vetores e situações em que sua aplicação é de grande utilidade.

a) Escreva o produto escalar $\vec{A} \cdot \vec{B}$ entre dois vetores e o produto vetorial $\vec{A} \times \vec{B}$, indicando a direção do vetor resultante no caso do produto vetorial.

b) Em problemas de astronomia de posição, o sistema de coordenadas que utilizamos considera o centro da Terra como o centro do sistema, já que ele também é o centro da esfera celeste, servindo de referência para os sistemas de coordenadas astronômicos, como os sistemas horizontal, equatorial e eclíptico. Portanto, para uma estrela com ascensão reta $\alpha$ e declinação $\delta$, encontre o vetor posição dessa estrela, considerando o raio da esfera celeste como unitário, as estrelas fixas nela e um sistema de coordenadas em que o eixo $z$ aponta para o polo equatorial norte e o eixo $x$ aponta para o ponto vernal.

c) Agora que já sabemos representar a posição de uma estrela na esfera celeste utilizando vetores, use o resultado anterior para calcular a separação angular entre duas estrelas no céu, considerando conhecidas as coordenadas equatoriais de ambas.

d) Um uso muito comum de vetores em astronomia de posição ocorre em problemas que envolvem a trajetória de estrelas ou asteroides, onde é necessário determinar os pontos de encontro entre essas trajetórias. Considerando um sistema de coordenadas horizontal em que o azimute $0$ corresponde ao ponto cardeal norte, um asteroide foi observado nas alturas $h_1$ e $h_2$ e azimutes $A_1$ e $A_2$, enquanto outro asteroide foi observado nas coordenadas $h_3$, $h_4$, $A_3$ e $A_4$. Encontre as coordenadas dos pontos de encontro entre os asteroides.