Astronomia - Semana 112

Escrito por Heitor Szabo

Iniciante

Ponto de Lagrange Terra-Lua

No sistema Terra-Lua, o ponto de Lagrange 1 (L1) é o ponto onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua se equilibram com a força centrípeta necessária para que um objeto em L1 mantenha sua posição relativa entre os dois corpos. Entretanto, existe um equívoco comum de que o ponto em que as forças gravitacionais da Terra e da Lua se igualam é o mesmo que o ponto de Lagrange 1. Sabendo que o ponto de Lagrange 1 é deslocado devido à presença da força centrípeta, calcule a diferença percentual entre a distância da Terra até o ponto de Lagrange 1 e a distância onde as forças gravitacionais da Terra e da Lua se igualam.

Dado: Considere o centro de massa do sistema Terra-Lua coincidente ao centro terrestre.

$M_T \approx 5.972 \times 10^{24} kg$

$M_L \approx 7.342 \times 10^{22} kg$

$D \approx 3.844 \times 10^8 m$

 

Intermediário

Invasão Alienígena

Num dia qualquer, alienígenas decidem invadir a Terra através da espaço-nave "DENSO". O Homem de Ferro, que percebeu a aproximação estranha, logo pede para Jarvis mandar sua armadura específica para lutar contra Aliens. Essa armadura porém, estava em um satélite em uma órbita circular de raio $r_0$ em torno da Terra. Através de um impulso que muda apenas a direção da velocidade do satélite por um ângulo $\theta$ para fora da órbita, agora o satélite, em órbita elíptica, passa pelo apoastro e vai em direção ao periastro que tangencia a superfície terrestre na posição que Tony Stark precisa da armadura.

Dessa forma, encontre o valor de $\theta$ em função de $r_0$ para que isso seja possível e a nave "DENSO" não destrua a Terra!

Dados: Raio da Terra = $R\oplus$

 

Avançado

Olha o Satélite!

Ao longo de uma noite, um observador na Terra (raio $R = 6.378 \, \text{km}$), localizado na latitude $\varphi$, notou um fenômeno incomum. Ele observou três satélites orbitando no plano equatorial, seguindo a mesma trajetória no céu de modo que, a cada momento, ele conseguia ver precisamente um deles (ou seja, enquanto o primeiro satélite se punha, o segundo estava nascendo e assim por diante).

a) Determine a altitude $h$ acima da superfície da Terra na qual esses satélites estão orbitando.

b) Calcule a altitude $\alpha$ de um desses satélites acima do horizonte (em graus) no momento de sua culminância.

Trabalhe numericamente para observadores em Praga ($\varphi = 50^\circ 05'$) e em Bogotá ($\varphi = 4^\circ 36'$).