Astronomia - Semana 113

Escrito por Davi Lucas 

Iniciante

Henriqueta em uma viagem no tempo

Henriqueta é uma criança muito curiosa que, ao explorar o sótão de seu avô Lew Xam, encontrou uma máquina do tempo e viajou para o ano 240 a.C. Lá, encontrou Eratóstenes realizando estudos que permitiram medições revolucionárias para a época, como o cálculo do raio da Terra. No entanto, o uso da máquina do tempo distorceu o espaço-tempo, fazendo com que algumas pessoas trocassem de afazeres, incluindo Eratóstenes. Agora, para que a sociedade evolua e volte à sua linha do tempo correta, Henriqueta deve refazer as mesmas descobertas que Eratóstenes havia realizado.

a) Primeiramente, Eratóstenes observou um fenômeno curioso no dia 21 de junho: na cidade de Alexandria, a sombra formada pelo sol fazia um ângulo de $7^\circ$ em relação à vertical, enquanto na cidade de Syene, a $780 \ \rm{km}$ de distância, não havia sombra alguma ao mesmo tempo. Com base nessas informações, estime o raio $r$ da Terra.

b) O próximo passo de Eratóstenes era calcular a distância entre a Terra e a Lua $d$. Supondo que a Terra tenha o raio $r$ encontrado no item anterior, e que forma um cilindro de sombra com diâmetro $2r$. Um eclipse lunar total é caracterizado pela passagem da Lua através desse cilindro por um tempo de $t \approx 3,2 \ \rm{h}$. Considerando órbitas aproximadamente circulares e que o período de rotação da Lua é $T \approx 655,2 \ \rm{h}$, determine a distância entre a Terra e a Lua $d$.

c) Eratóstenes percebeu que, nas fases de quarto crescente e quarto minguante da Lua, a linha entre o centro da Terra e o centro da Lua forma um ângulo de $90^\circ$ com a linha entre o centro da Lua e o centro do Sol. Nessa época, ele mediu o ângulo $\theta \approx 89^\circ 51'$ entre o Sol e a Lua no céu. A partir dessa observação, determine a distância entre a Terra e o Sol, conhecida como 1 unidade astronômica.

Intermediário

Paralaxe relativística?

Suponha que eu tenha uma estrela localizada a uma distância $R$ do centro do sistema solar, que faz um ângulo $\theta$ em relação ao plano orbital da Terra (eclíptica). Você observa a estrela da Terra em vários momentos ao longo do ano. Considere a distância Terra-Sol como $r_e$ e a velocidade angular da órbita da Terra como $\omega$, tal que a velocidade orbital é $v = \omega r_e$. Neste problema, $R \gg r_e$ e $c \gg v$.

a) Encontre a variação máxima e mínima no ângulo observado da estrela no céu devido à mudança na posição da Terra ao longo de qualquer período de seis meses.

b) Além do efeito causado pela mudança de posição, conhecido como paralaxe, existe outro fenômeno decorrente da velocidade da Terra: a aberração estelar. Esse efeito se refere à diferença no ângulo de um raio de luz em diferentes referenciais inerciais. Realize a mesma análise do item anterior, determinando a variação máxima e mínima no ângulo observado, agora considerando a aberração. Para este problema, você pode assumir que a luz da estrela que chega à Terra é paralela à que chega ao Sol.

c) Qual efeito domina a maioria das observações ? Use como exemplo uma das estrelas mais próximas de nós, Alpha Centauri, que está aproximadamente 4,4 anos luz de distância.

Avançado

Cosmologia x 2° Lei da Termodinâmica

Com o avanço dos estudos da cosmologia, um tema intrigante surgiu: o conflito entre a formação do universo e a Segunda Lei da Termodinâmica. Esse problema desafia nossa compreensão de como as condições do universo primitivo, o estado logo após o Big Bang, podem ter levado à complexidade que observamos hoje. A entropia, popularmente nomeada como desordem, deveria aumentar, mas a formação de estruturas ordenadas como estrelas e galáxias parece contradizer essa lei. Nos próximos itens, exploraremos os conceitos fundamentais dessa discussão para entender melhor essa aparente contradição.

a) A entropia é comumente descrita como a "desordem" de um sistema, mas essa definição pode ser vaga e imprecisa. Uma definição mais rigorosa é que a entropia quantifica o número de microestados possíveis que correspondem a um mesmo macroestado. Ludwig Boltzmann expressou isso por meio da fórmula da entropia estatística:

$$S = k_B \ln \Omega$$

onde $k_B$ é a constante de Boltzmann e $\Omega$ é o número de microestados. Para ilustrar melhor esse conceito, considere o seguinte exemplo: determine o macroestado mais provável para o caso de 100 moedas justas (não viciadas), que podem resultar apenas em cara ou coroa.

Com base na definição anterior, uma questão intrigante começou a preocupar os cientistas: o universo primitivo era extremamente quente e altamente ordenado, possuindo, portanto, uma entropia muito elevada devido ao equilíbrio térmico. No entanto, à medida que o tempo passou e o universo se expandiu, galáxias e estrelas começaram a se formar, o universo esfriou e se tornou menos ordenado. Aparentemente, isso sugeriria uma diminuição da entropia do universo, o que contradiz a 2ª Lei da Termodinâmica, que afirma que um sistema isolado evolui naturalmente para seu estado mais provável — aquele com o maior número de microestados, correspondendo à maior entropia.

A única explicação para resolver essa aparente contradição é a influência dos campos gravitacionais, que afetam a entropia do universo durante a formação de estruturas como estrelas e galáxias. Para compreender melhor esse fenômeno, e verificar essa hipótese, iremos calcular a variação de entropia em uma nuvem de gás.

b) Considere um gás ideal e uniforme, com energia total $E$ e energia cinética $K$, composto por $N$ partículas cujos graus de liberdade internos são desprezíveis. O gás está confinado em uma região esférica de raio $R$. Calcule a entropia do sistema $S(E,R)$ em equilíbrio termodinâmico.

c) Sabendo que a nuvem é auto-gravitante, calcule a energia potencial gravitacional em função do número de particulas $N$, da massa por partícula $\mu$ e do raio $R$

d) Encontre as características macroscópicas da nuvem na situação de entropia máxima.

e) Calcule a variação de entropia $\Delta S$ entre as duas situações a seguir:

Situação 1 (300.000 anos após o Big Bang): $\rho_1 \approx 10^{14} \, \text{baryons/m}^3$ e $T_1 \approx 10^4 \, K$

Situação 2 (atualmente): $\rho_2 \approx 10^{30} \, \text{baryons/m}^3$ e $T_2 \approx 10^7 \, K$

Mesmo levando em consideração a influência gravitacional, chegamos à conclusão de que, de fato, a entropia da matéria bariônica no universo é significativamente menor agora do que no passado. No entanto, com o avanço das pesquisas, os cientistas passaram a considerar outros fatores e conseguiram resolver esse aparente conflito.

f) Levando em consideração que apenas a entropia da nuvem de gás foi analisada no item anterior, explique por que a entropia total do universo continua aumentando, mesmo que a entropia da matéria possa diminuir.