Astronomia - Semana 79

INICIANTE

(Big Mac do Bojan) Após voltar de um longo dia de estudos, Bojan decidiu ir para o Mc Donalds comer o seu lanche favorito: o famoso Big Mac. Sabendo que Bojan partiu de sua escola, que está à $2$ km do fast food, e se movimenta com velocidade constante $V = 5$ $m/s$, calcule após quanto tempo o garoto conseguirá distinguir angularmente um Big Mac. Para isso, considere que o Big Mac é, aproximadamente, uma esfera de raio $r = 4$ cm, que o comprimento de onda no visível é $\lambda = 550$ nm e que o diâmetro do olho humano é $d = 6$ mm

INTERMEDIÁRIO

(Terra Cúbica) Em um mundo alternativo, a Terra não é mais uma esfera, mas, sim, um cubo, como no jogo Minecraft. Essa Terra, ainda assim, possui uma linha do equador e, nela, a latitude é medida como o ângulo desde o centro do equador terrestre até um ponto de interesse em sua superfície, como na imagem:

 

Com base nisso, determine a altura angular $h$ com que uma pessoa em uma latitude $\varphi$ verá o Sol em sua passagem meridiana. Para tanto, considere que as dimensões do cubo são $L$, que a distância do Sol até a Terra é $d$ e que a declinação do Sol na data de observação é $\delta$, tal que $\delta$ e $\varphi$ $\in [0,\dfrac{\pi}{4}]$. Encontre uma expressão geral e depois simplifique-a para o caso limite em que $d >> L$.

AVANÇADO

(Satélite Defeituoso) Após diversas observações, Mextre notou que o seu satélite artificial, A-N01T3-T3M-MH5, construído em 2012, havia apresentado um grande defeito e, por isso, deveria ser levado urgentemente de volta à Terra, antes que explodisse e causasse sérias consequências. Mextre sabia que o nodo ascendente da órbita do satélite coincidia com o Meridiano de Greenwich, que a inclinação orbital do satélite era $i$ e que sua órbita era circular. Entretanto, ele não sabia a principal informação necessária para realizar a transfência do satélite à Terra: o seu raio orbital $R$. Com base nisso, foi necessário um método experimental alternativo para determinar a distância do satélite até a Terra e, com isso, lançá-lo de volta à Terra. Considere, para os próximos itens, que Mextre se encontra no meridiano de Greenwich, em um local de latitude $\varphi$. Ao longo da questão, pode-se desconsiderar o movimento de rotação da Terra.

a) Como Mextre não tinha muito tempo disponível, o método sugerido por ele foi o de, a partir do momento em que o satélite passasse pelo seu nodo ascendente, emitir um sinal que seria futuramente recebido pelo satélite em um ponto $P$ de sua órbita e, após isso, seria imediamente refletido de volta. O objetivo do garoto era calcular o tempo de duração entre o envio e recebimento do sinal e, com isso, concluir a distância do satélite ao centro da Terra. Sabendo que ao fim do experimento, foi medido um intervalo de tempo correspondente igual à $\Delta t$, mostre que pode-se encontrar o raio orbital do satélite a partir da equação:

$$R^4 + \alpha R^3 + \beta R^2 + \gamma R + \delta = \epsilon R^{3/2}$$

e encontre os valores dos coeficientes $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ e $\epsilon$.
Se necessário use que, para $x << 1$, $\sin x \approx \tan x \approx x$ e $\cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2}$.

b) Visando simplificar nossas contas, analisaremos o caso em que só há uma solução física possível para a equação anterior. Sabendo disso, escreva a relação que deve ser satisfeita entre $\varphi$ e $i$ nessa condição, bem como, calcule os respectivos valores solução de $\varphi_M$ e $i$ para tal. Conclua, com isso, o raio orbital $R$ do satélite se a duração total do experimento for de $\Delta t = 1.23$ $min$.

Agora que Mextre sabe o raio orbital do satélite está tudo pronto para que ele possa enviar A-N01T3-T3M-MH5 de volta a Terra! Considere, portanto, que, para isso, o jovem pretende lançar um projétil de massa $m_C = 90$ $kg$ que irá colidir inelásticamente com o satélite, que possui massa $m_S = 1000$ $kg$, de modo que o objeto resultante após a colisão caia na superfície terrestre, assim, evitando a grande catastrófe que ocorreria se o satélite explodisse ainda em órbita.

c) Sabendo que a colisão ocorrerá quando o satélite estiver no nodo ascendente de sua órbita e que a direção do vetor velocidade do prójetil está contida no plano do equador, apontando perpedicularmente a direção que liga o centro da Terra e o nodo ascendente da órbita do satélite, e com sentido contrário ao do movimento do satélite, determine a mínima velocidade $V_{min}$ que o projétil deve ter, imediatamente antes da colisão, para que seja possível realizar a transferência aspirada por Mextre.