Astronomia - Semana 96

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

Relações orbitais em sistemas binários

Um sistema binário de estrelas consiste em duas estrelas Iuam e Sezenem. A estrela Iaum possui massa $M_I$ e a estrela Sezenem possui massa $M_S$ . As estrelas orbitam em torno de um centro de massa comum, que dista $a_I$ de Iaum e $a_S$ da Sezenem

a) Usando as leis de Kepler, prove que o período orbital $T$ das estrelas é dado por:

$$T^2 = \frac{4\pi^2 (a_I + a_S)^3}{G(M_I + M_S)}$$

Onde $G$ é a constante gravitacional.

b) Sabendo que $a_I = 6a_S$, $a_s = 0,45 UA$ e que $M_I = 4M_{\odot}$ calcule o período do sistema binário em dias.

c) Determine a velocidade orbital da estrela Iuam em torno do centro de massa do sistema binário, considerando que a órbita é aproximadamente circular.

d) Explique como a observação da curva de luz de um sistema binário de estrelas pode ser usada para determinar propriedades físicas importantes das estrelas, como suas massas e tamanhos relativos.

Intermediário

Estrela V3-RdE

A estrela V3 - RdE, possuí autalmente coordenadas equatoriais $\delta = 07^{\circ}10'20,05''$ e $\alpha = 36^m45,338^s$
Sabendo que 6 meses atrás, suas coordenas eclípticas eram $\beta = 2,9688^{\circ}$ e $\lambda = 45^m4,37^s$ calcule a distância de V3 - RdE até a terra. Considere que a estrela não possuí movimento próprio.

Avançado

Universo Rosquinha

O renomado cientista H.H. tinha uma paixão avassaladora por rosquinhas. Fascinado por essas delícias, ele decidiu utilizar essa inspiração para deduzir as Equações de Friedmann para um universo em forma de rosquinha, o chamado Universo Rosquinha. No entanto, em meio a sua dedicação, H.H. foi tentado pelas próprias rosquinhas que tanto amava e se distraiu. Agora, cabe a nós concluir a tarefa que ele começou: deduzir as equações para um universo rosquinha.

Suponha que atualmente $t_0$ o Universo rosquinha possuí distancia $R_0$ da origem até o centro do tubo e $r_0$ é o raio do tubo (ver figura 1.).

Por causa da expanção do Universo, podemos dizer que para um determinado tempo: $R(t) = R_0 a(t)$ e $r(t) = r_0 a(t)$ onde $a(t)$ é o fator de escala.

Para essa questão considere que o universo rosquinha é feito somente de trigo, óleo, ovos, uma pitada de sal, açucar, leite, canela e fermento, ou seja, apenas matéria não relativística, que $R_0>>r_0$ e a área da superfície que envolve o Universo Rosquinha pode ser aproximada para um cilíndro de raio $R+r$ e altura $2r$.

a) Sabendo que a equação que define a Rosquinha é dada por:

$$(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2)$$

Encontre seu volume em função de $R$ e $r$.

b) Utilize a Lei de Gauss ($\oint_S \vec{g} . \ d\vec{S} = -4\pi GM_{interior}$) para achar a aceleração da gravidade em função do tempo $\vec{g}(t)$ de uma partícula de massa $\mu$ na extremidade exterior do Universo Rosquinha. Qual a energia potencial gravitacional, $U(t)$ que atua sobre essa partícula?

c) Antes de ser tentado pelas rosquinhas, H.H. escreveu a Primeira equação de Friedmann na sua forma Newtoniana, mas esqueceu de nos falar os valores das constantes $C_1$ e $C_2$. A equação que ele escreveu era a seguinte:

$$H(t)^2 = C_1 \rho (t) + \frac{C_2}{a(t)^2}$$

Onde $H(t)$ é o parâmetro de Hubble e $\rho(t)$ é a densidade do Universo Rosquinha em função do tempo. Agora sua tarefa é determinar $C_1$ em função de $R_0$, $r_0$ e outras constantes físicas e $C_2$ em função da Energia Mecânica total $E$, $\mu$, $R_0$ e $r_0$.

d) Utilizando a Primeira Lei da Termodinâmica, deduza a equação dos fluídos, que relaciona a densidade de energia ($\varepsilon$), a taxa de variação temporal do fato de escala ($\dot{a}$) e do fator de escala ($a$) para o Universo Rosquinha.

e) A partir das duas ultimas equações, derive a Primeira Equação de Friedmann em relação ao tempo e encontre a equação de aceleração. Lembre-se da equivalencia matéria energia e deixe sua resposta em função de: $\ddot{a}$, $a$, $\varepsilon$ e $\omega$, onde $\varepsilon$ é a densidade de energia e a Pressão pode ser escrita com $P = \omega \varepsilon$.