Escrito por Maxwell Caciano da Silva
Iniciante
Paradoxo de Olbers
O fluxo por esferorradiano do céu noturno pode ser determinado pela seguinte expressão:
FΩ=FΩ
Considere que seja d a distância média até se encontrar uma estrela. Dessa forma, o fluxo proveniente de uma região qualquer do céu será:
F=L4πd2
e o ângulo sólido dessa região:
Ω=πR24πd2
Substituindo na expressão inicial:
FΩ=FΩ=L4πd2⋅4d2R2=LπR2
Como podemos notar, o fluxo do céu noturno depende apenas do raio médio e da luminosidade média de uma estrela. Dessa forma, em um universo infinito o céu noturno deveria ser tão brilhante quanto a superfície de uma estrela média.
Intermediário
Zona Fótica
a) Observe a representação:
Pela geometria do problema:
h=90∘−(|δ|−|Φ|)
h=90∘−(60∘50′−4∘)
h=33∘10′
b) Vamos começar este problema calculando a magnitude limite do telescópio:
mlim=6+5log1806=13,4 mag
Comparando com o sol para calcular o fluxo limite:
mlim−m⊙ =−2,5logFlimF⊙
Flim=10m⊙ −mlim2,5⋅F⊙
Flim=10−26,7−13,42,5⋅1362=1,24⋅10−13 W/m2
Calculando o fluxo de Alpha Centauri na superfície da Terra:
F=4πR2σT44π(206265⋅1,496⋅1011p)2
Substituindo:
F=(1,4⋅6,96⋅108)2⋅5,67⋅10−8⋅(5800)4(206265⋅1,496⋅1011747⋅10−3)2=3,57⋅10−8
Agora vamos calcular o coeficiente de atenuação linear da água. Pela expressão dada no enunciado:
Ff=F⊙ ⋅e−ux
Sendo Ff o fluxo de uma estrela de magnitude 6 (limite de visibilidade à olho nu) e x a distância máxima (500 metros). Calculando Ff:
Ff=10m⊙ −6)2,5⋅F⊙
Ff=10−26,7−62,5⋅1362=1,13⋅10−10
Substituindo para calcular o coeficiente de atenuação linear:
Ff=F⊙ ⋅e−ux
u=−lnFfF⊙ ⋅0,9x
u=−ln1,13⋅10−101362500=0,06
Agora podemos, enfim, calcular a distância máxima percorrida pela luz na água para atingir o fluxo limite do telescópio:
dmax=−lnFlimF⋅0,9u
dmax=−ln1,24⋅10−133,57⋅10−8⋅0,90,06=208m
Agora devemos considerar a refração sofrida pela luz. Pela lei de Snell:
narsin(90∘−h)=nsinθ
θ=arcsin(sin(90∘−h)n)
θ=arcsin(sin(90∘−33∘10′)1,34)
Enfim calculando a profundidade máxima:
ymax=dmax⋅cosθ
ymax=208⋅cos33∘39′33"
ymax=162m
Avançado
Corpo negro
A densidade de energia no intervalo f→df é:
η(f)df=8πc3⋅hf3exp(hfkT)−1df
Para encontrar a densidade de fótons basta dividir a densidade de energia por hf:
n(f)df=8πc3⋅f2exp(hfkT)−1df
Para o caso em que hf≫kT:
exp(hfkT)−1≈exp(hfkT)
Dessa forma, integrando entre o intervalo f=Eh e f=∞:
n(f)=8πc3∫∞Ehf2⋅exp(−hfkT)df
Integrando por partes, em que:
u=f2⇔du=2fdf
dv=exp(−hfkT)df⇔v=−kTh⋅exp(−hfkT)
Logo:
n=8πc3⋅[−f2⋅kthexp(−hfkT)|∞Eh−∫∞Eh−2fdf⋅kTh⋅exp(−hfkT)]
n=8πc3[E2kTh3exp(−EkT)+2kTh∫∞Ehf⋅exp(−hfkT)df]
Note que podemos fazer uma aproximação já que E≫kT:
n=8πc3[E2kTh3exp(−EkT)]
n=8πc3⋅E2kTh3⋅exp(−EkT)