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Soluções - Astronomia Semana 100

Escrito por Maxwell Caciano da Silva

Iniciante

Paradoxo de Olbers

O fluxo por esferorradiano do céu noturno pode ser determinado pela seguinte expressão:

FΩ=FΩ

Considere que seja d a distância média até se encontrar uma estrela. Dessa forma, o fluxo proveniente de uma região qualquer do céu será:

F=L4πd2

e o ângulo sólido dessa região:

Ω=πR24πd2

Substituindo na expressão inicial:

FΩ=FΩ=L4πd24d2R2=LπR2

Como podemos notar, o fluxo do céu noturno depende apenas do raio médio e da luminosidade média de uma estrela. Dessa forma, em um universo infinito o céu noturno deveria ser tão brilhante quanto a superfície de uma estrela média.

Intermediário

Zona Fótica

a) Observe a representação:

Pela geometria do problema:

h=90(|δ||Φ|)


h=90(60504)


h=3310

b) Vamos começar este problema calculando a magnitude limite do telescópio:

mlim=6+5log1806=13,4 mag

Comparando com o sol para calcular o fluxo limite:

mlimm =2,5logFlimF


Flim=10m mlim2,5F


Flim=1026,713,42,51362=1,241013 W/m2

Calculando o fluxo de Alpha Centauri na superfície da Terra:

F=4πR2σT44π(2062651,4961011p)2

Substituindo:

F=(1,46,96108)25,67108(5800)4(2062651,4961011747103)2=3,57108

Agora vamos calcular o coeficiente de atenuação linear da água. Pela expressão dada no enunciado:

Ff=F eux

Sendo Ff o fluxo de uma estrela de magnitude 6 (limite de visibilidade à olho nu) e x a distância máxima (500 metros). Calculando Ff:

Ff=10m 6)2,5F


Ff=1026,762,51362=1,131010

Substituindo para calcular o coeficiente de atenuação linear:

Ff=F eux


u=lnFfF 0,9x


u=ln1,1310101362500=0,06

Agora podemos, enfim, calcular a distância máxima percorrida pela luz na água para atingir o fluxo limite do telescópio:

dmax=lnFlimF0,9u


dmax=ln1,2410133,571080,90,06=208m

Agora devemos considerar a refração sofrida pela luz. Pela lei de Snell:

narsin(90h)=nsinθ


θ=arcsin(sin(90h)n)


θ=arcsin(sin(903310)1,34)

Enfim calculando a profundidade máxima:

ymax=dmaxcosθ


ymax=208cos333933"


ymax=162m

Avançado

Corpo negro

A densidade de energia no intervalo fdf é:

η(f)df=8πc3hf3exp(hfkT)1df

Para encontrar a densidade de fótons basta dividir a densidade de energia por hf:

n(f)df=8πc3f2exp(hfkT)1df

Para o caso em que hfkT:

exp(hfkT)1exp(hfkT)

Dessa forma, integrando entre o intervalo f=Eh e f=:

n(f)=8πc3Ehf2exp(hfkT)df

Integrando por partes, em que:

u=f2du=2fdf


dv=exp(hfkT)dfv=kThexp(hfkT)

Logo:

n=8πc3[f2kthexp(hfkT)|EhEh2fdfkThexp(hfkT)]

n=8πc3[E2kTh3exp(EkT)+2kThEhfexp(hfkT)df]

Note que podemos fazer uma aproximação já que EkT:

n=8πc3[E2kTh3exp(EkT)]


n=8πc3E2kTh3exp(EkT)