Soluções Astronomia - Semana 101

Escrito por Lucas Cavalcante

Iniciante

Condição I : Energia

Primeiramente, para que seja possível hospedar a comunidade biológica no planeta analisado é preciso que sua demanda energética ($D$) seja igual à fonte de energia primária de um sistema planetário, ou seja, de sua estrela. Portanto, a potência irradiada pela estrela que chega ao planeta precisa ser igual ou superior à demanda energética da comunidade. Então, a temperatura mínima ocorrerá quando a potência irradiada pela estrela que chega ao planeta é igual à demanda energética:

$$D = \dfrac{L_e}{4\pi d_p^2}\cdot \pi R_p^2$$

$$D = \dfrac{4\pi R_e^2 \sigma T_e^4}{4\pi d_p^2}\cdot \pi R_p^2$$

$$T_e = \sqrt{\dfrac{d_p}{R_pR_e}} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{D}{\pi \sigma}}$$

$$T_e = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,5 \times 10^{11}}{6,37 \times 10^6 \cdot 2 \cdot 6,96 \times 10^8}} \cdot \sqrt[4]{\dfrac{\dfrac{1,6 \times 10^{16} \cdot 1000 \cdot 4,2}{60} }{5,67\times 10^{-8}\cdot \pi}}$$

$$\boxed{T_e \approx 9210 \; K}$$

Intermediário

Processo : Formação planetária

Solução I (Sem Cálculo)

Nesse problema, as partículas realizarão um moviemento retilínio com uma aceleração variavél, não sendo possível utilizar as expressões clássicas de cinemática. No entanto, a força atuante no sistema é gravitacional, e ela segue as leis de Kepler, principalmente, a terceira lei de Kepler:

$$\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM}$$

Portanto, podemos utilizar a ideia de que o movimento das partículas seguirá uma elipse muito fina tendendo a uma reta, a elipse degenerada.

Entretanto, nessa situação, a distância entre os corpos também variam, o que não corresponde exatamente a uma órbita planetária como a Terra e o Sol, onde se considera o corpo central como imóvel. Para que possua esse problema possua maior semelhança com o caso planetário, pode-se substituir um dos corpos por um objeto imóvel que aplica a mesma força que a presente no sistema original e se encontra na posição final do movimento, que, pela simetria, é no centro da distância entre as partículas, $d' = \dfrac{d}{2}$. Para encontrar a massa equivalente desse corpo deve-se igualar as forças:

$$F'_G = F_G \Rightarrow \dfrac{Gmm_{eq}}{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} = \dfrac{Gm^2}{d^2}$$

$$m_{eq} = \dfrac{m}{4}$$

Ainda, é preciso encontrar o semieixo maior da órbita equivalente ao movimento orginal, e esse semieixo será metade da distância inicial entre a párticula analisada e o objeto central, ou seja, $a = \dfrac{d}{4}$. Então, o período da órbita equivalente será:

$$\dfrac{T^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{Gm_{eq}} \Rightarrow T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{Gm_{eq}}}$$

$$T = 2\pi \sqrt{\dfrac{\left(\dfrac{d}{4}\right)^3}{G\dfrac{m}{4}}} \Rightarrow T = \dfrac{\pi}{4} \sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}$$

Como, durante seu movimento, a partícula percorrerá apenas metade de sua órbita, o tempo de colisão $\Delta t$ será:

$$\Delta t = \dfrac{T}{2} \Rightarrow \boxed{\Delta t = \dfrac{\pi}{4} \sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}}$$

Solução II (Com cálculo)

Podemos escrever terceira lei de Newtom para uma das partículas:

$$ma = \dfrac{Gm^2}{r^2}$$

Onde $r$ é a distância entre os centros das esferas.

Agora, deve-se escrever $a = \dfrac{dv}{dt}$, e, para tirar a dependência do tempo, multiplica-se os dois lados da equação por $dr$. Resultando em :

$$\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{Gm}{r^2} \Rightarrow \dfrac{dr}{dt} dv = \dfrac{Gm}{r^2}dr$$

Então, pelos dois corpos estarem se aproximando com uma velocidade $v$, a variação de r no tempo, $\dfrac{dr}{dt}$ será igual a $-2v$, o sinal negativo indicando que a distância entre os corpos diminui com o tempo. Substituindo esse resultado e resolvendo as integrais, sabendo que $\int x dx = \dfrac{x^2}{2} + C$ e $\int \dfrac{dx}{x^2} = - \dfrac{1}{x} + C$ :

$$2v dv = -\dfrac{Gm}{r^2} dr \Rightarrow 2 \int_0^v vdv = -Gm\int_d^r \dfrac{1}{r^2} dr$$

$$v^2 = Gm \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{d} \right) \Rightarrow v = \sqrt{Gm \left( \dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{d} \right)}$$

Agora, deve-se substituir o $dv$ pela relação com o $dr$, ou seja, $dv = -\dfrac{dr}{2dt}$ e resolver a integral resultante:

$$2\sqrt{Gm}dt = -\dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{d}}}$$

$$\int_0^{\Delta t} 2\sqrt{Gm}dt = \int_0^d \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{d}}}$$

Como:

$$\int \dfrac{dx}{\sqrt{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{a}}} = a^{\dfrac{3}{2}}\left(- \arctan \left( \sqrt{a}\sqrt{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{a}}\right) \right) - ax\sqrt{\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{a}} + C$$

A expressão final será:

$$2\sqrt{Gm}\Delta t = \dfrac{\pi}{2}d^{\dfrac{3}{2}} \Rightarrow \boxed{\Delta t = \dfrac{\pi}{4}\sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}}$$

Avançado

Condição II : Temperatura

a) Pela lei de Stefan-Boltzmann, temos que a luminosidade de um corpo negro pode ser escrita como:

$$L = \epsilon A \sigma T^4$$

Em que $\epsilon$ é a emissividade da atmosfera, que por ser igual a sua absortividade, será $\epsilon = \alpha = 1 - A_{atm} - t_{atm}$.

Além disso, como a atmosfera emite tanto na direção do planeta como na direção do espaço é preciso considerar tanto sua área externa quanto a interna no termo de área, resultando em:

$$L = 2\times 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 (1 - A_{atm} - t_{atm})$$

$$L = 8\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 (1 - A_{atm} - t_{atm})$$

b) No primeiro contato da radiação emitida pelo planeta na atmosfera, parte dessa radiação será absorvida por ela, parte será transmitida e perdida para o espaço sideral, e outra parte sofrerá reflexão, voltando para o planeta, que, novamente, refletirá parte dela para a atmosfera, repetindo esse processo. Então, a radiação absorvida pela atmosfera advinda do planeta será, considerando que a potência emitida pelo planeta será $P_p = \epsilon 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 = (1 - A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4$:

$$P_1 = (1 - A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4(1 - A_{atm} - t_{atm}) + (1 - A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 A_{atm}A_p(1 - A_{atm} - t_{atm}) + \dots$$

Essa expressão é a soma de uma PG infinita com razão $A_pA_{atm}$, tendo como resultado:

$$\boxed{P_1 = \dfrac{(1 - A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4(1 - A_{atm})}{1 - A_{atm}A_p}}$$

c) Primeiramente, é preciso encontrar a potência emitida pela estrela que chega no sistema planeta-atmosfera, que será o fluxo que atinge o sitema multiplicado por sua área transversal:

$$P_e = \dfrac{L_e}{4\pi d_p^2} \times \pi R_p^2 = \dfrac{L_e R_p^2}{4d_p^2}$$

Agora, deve-se encontrar a parcela da potência que é inicialmente absorvida pela atmosfera:

$$P_2 = (1 - A_{atm} - t_{atm})P_e$$

$$\boxed{P_2 = \dfrac{(1 - A_{atm} - t_{atm}) L_e R_p^2}{4d_p^2}}$$

Ainda, para encontrar a potência absorvida pela atmosfera que foi refletida da radiação que se chega ao planeta originada da estrela, deve-se considerar que essa radiação foi transmitida pela atmosfera e refletida pelo planeta, para, então, seguir um processo de infinitas reflexões semelhante à situação do item \textbf{d)}. Portanto, a expressão resultante será:

$$P'_2 = P_e t_{atm} A_p (1 - A_{atm} - t_{atm}) + P_e t_{atm} A_p^2 A_{atm} (1 - A_{atm} - t_{atm}) + \dots$$

$$\boxed{P'_2 = \dfrac{L_e R_p^2 t_{atm} A_p (1 - A_{atm} - t_{atm})}{4d_p^2(1 - A_{atm}A_p)}}$$

d) Como o planeta será atingido apenas pela radiação da atmosfera emitida pela sua superfície interna, a energia emitida pela atmosfera que atingirá o planeta será:

$$P_{atm} = (1 - A_{atm} - t_{atm}) 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4$$

Até atingir a atmosfera, essa potência precisa, primeiro, refletir no planeta. E, então, sequência de infinitas reflexões começará, semelhantemente aos casos anteriores:

$$P_3 = (1 - A_{atm} - t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p + (1 - A_{atm} - t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p^2 A_{atm} + \dots$$

$$\boxed{P_3 = \dfrac{(1 - A_{atm} - t_{atm})^2 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4 A_p}{1 - A_{atm}A_p}}$$

No equilíbrio termodinâmico, a potência absorvida por um corpo é igual a potência emitida por ele. Portanto, para a atmosfera :

$$\boxed{L = P_1 + P_2 + P'_2 + P_3}$$

e) Analogamente ao procedimento feito para a atmosfera:

• Potência emitida : $L_p = (1 - A_p) 4\pi R_p^2 \sigma T_p^4$
• Radiação advinda da atmosfera : $\dfrac{P_a = 4\pi R_p^2 \sigma T_{atm}^4(1- A_{atm} - t_{atm})(1 - A_p)}{1 - A_pA_{atm}}$
• Radiação originada na estrela :$\dfrac{P_b = L_eR_p^2t(1 - A_p)}{4d_p^2(1 - A_{atm}A_p}$
• Radiação refletida pela atmosfera proveniente do planeta: $P_c = \dfrac{4\pi R_p^2 \sigma T_p^4 (1 - A_p)^2A_{atm}}{1 - A_{p}A_{atm}}$
• Equilíbrio termodinâmico do planeta : $L_p = P_a + P_b + P_c$

f) Isolando $T_{atm}$ na expressão do equilíbrio termodinâmico da atmosfera :

$$T_{atm}^4 = \dfrac{(1 - A_p)T_p^4 + \dfrac{L_e(1 + A_p(t_{atm} - A_{atm})}{16\pi \sigma d_p^2}}{2 + A_p(t_{atm} - A_p - 1)}$$

Por fim, substituindo a expressão de $T_{atm}$ encontrado na relação do equilíbrio termodinâmico do planeta, resultará em:

$$\boxed{T_p = \sqrt[4]{\dfrac{L_e}{16\pi \sigma d_p^2}\dfrac{(1 - A_p A_{atm})(1 - A_{atm}) + t_{atm}(1 - A_p^2)}{1 - 3A_{atm} - A_p^2(1 - A_{atm}) + t_{atm}(1-A_pA_{atm})}}}$$