Escrito por Lucas Cavalcante
Iniciante
Perdido
Na situação de culminação superior, a relação entre a latitude, declinação e altura do astro para Arcturus será:
Agora, para encontrar a longitude do local, pode-se utilizar a definição de tempo sideral local, sabendo que, por passar pelo meridiano local, o ângulo horário de Arcturus será :
E a relação entre o tempo sideral local e o tempo sideral de Greenwich:
Intermediário
Ondas Gravitacionais
a) Primeiramente, pode-se encontrar a energia potencial do sistema:
Agora, para encontrar a energia cinêtica do sistema, é preciso descobrir a velocidade de um dos corpos, pois em um sistema binário:
Para isso, pode-se igualar a força sentida por um dos corpos com a resultante centrípeta, ou seja:
Analogamente para o primeiro elemento:
Substituindo as velocidades na expressão da energia cinética total do sistema:
Portanto, a energia total do sistema será:
Além disso, pela lei de Kepler:
b) Para encontrar uma expressão para além da apresentada, deve-se derivar a expressão da energia total encontrada em relação ao tempo, resultando:
Agora, igualando essa expressão com a fornecida:
c) Para obter-se uma expressão para o tempo de colapso do sistema, é preciso resolver a equação diferencial encontrada no item anterior:
d) É importante perceber que a frequência das ondas gravitacionais é o dobro da frequência orbital do sistema que as emitem e que a velocidade dessas ondas é igual a velocidade da luz (). Portanto, utilizando a relação e expressão para o período orbital encontrada no item a:
Avançado
Órbitas e Energias Potenciais
a) A energia total do sistema será a soma da energia cinética do corpo de prova e a energia potencial atuante sobre ele:
b) O momento angular de uma órbita pode ser escrito como:
Então, substituindo o encontrado a partir do momento angular na expressão para a velocidade:
Portanto, colocando essa velocidade na equação para a energia do sistema:
c) Como encontrado no item anterior, a energia potencial efetiva será:
Esboçando o gráfico em função de dessa expressão, encontra-se:
A posição de equilíbrio do sistema, ou seja, quando a energia potencial é mínima pode ser encontrada derivando a expressão para o potencial efetivo e igualando a :
d) Então, escrevendo a energia total do sistema com esse novo potencial:
Dessa forma, pode-se perceber que o novo potencial efetivo será:
Realizando o mesmo procedimento executado no item c:
e) Retomando a expressão para a energia total do sistema que sofre do potencial trabalhado e comparando com o formato apresentado, tem-se que:
Para se simplificar a expressão para o momento angular efetivo do sistema pode-se somar e subtrair , pois, assim, completa-se o quadrado perfeito , e como , o termo pode ser desprezado, resultando em:
f) Para encontrar a frequência da precessão do periélio, deve-se escrever o momento angular efetivo como a soma do momento angular orbital e do momento angular da precessão:
Utilizando a expressão para o momento angular orbital, e utilizando , considerando a órbita aproximandamente circular: