Soluções Astronomia - Semana 35

INICIANTE

Assumindo que o planeta irradia como corpo negro:

Calculemos o "raio orbital interno" da zona habitável (373K):

$r=\sqrt{\frac{L(1-\alpha)}{16{\pi}{\sigma}{T_{max}}^4}}$

Calculemos o "raio orbital externo" da zona habitável (273K):

$R=\sqrt{\frac{L(1-\alpha)}{16{\pi}{\sigma}{T_{min}}^4}}$

Essa área será dada por:

$A=\pi(R^2-r^2)$

$A={\frac{L(1-\alpha)}{16\sigma}}{\frac{T_{max}^4-T_{min}^4}{{T_{max}^4}{T_{min}^4}}}$

Mas $L=4{\pi}R^2{\sigma}T^4$, assim:

$A={R^2}{T^4}(1-\alpha){\frac{\pi}{4}}{\frac{T_{max}^4-T_{min}^4}{{T_{max}^4}{T_{min}^4}}}$

 

 

INTERMEDIÁRIO

Assumindo que toda a energia térmica do Sol provenha apenas da energia potencial do colapso da nuvem que formou nossa estrela, temos, a partir do teorema do virial:

$<T> =-\frac{1}{2}<U>$

$<T> ={\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}}\frac{GM^2}{R}$

$t=\frac{<T>}{L_{Sol}}$

$t \approx 10^7 anos$

 

AVANÇADO

Calculemos a energia potencial num ponto qualquer interno da esfera:

$U(r) - U(R)= -\int_R^r F(r) dr$

Calculemos $F(r)$:

$F(r)=-\frac{GmM(r)}{r^2}$

Calculemos $M(r)$

$M(r)=r^3{\frac{M}{R^3}}$

Assim, $F(r)$ será:

$F(r)=-{\frac{GmM}{R^3}}r$

Integrando

$U(r) = U(R) - \frac{GMm}{2R} + {\frac{GMm}{2R^3}}r^2$

$U(r)={-\frac{3}{2}}\frac{GMm}{R}+{\frac{GMm}{2R^3}}r^2$

No centro, a energia potencial será:

$U(0)={-\frac{3}{2}}\frac{GMm}{R}$

A energia mecânica do sistema será zero, logo:

$K=-U$

$\frac{mv_{esc}^2}{2} = \frac{3}{2}\frac{GMm}{R}$

A velocidade de escape será:

$v_{esc}=\sqrt{\frac{3GM}{R}}$