Soluções Astronomia - Semana 38

INICIANTE

Pela Lei do Deslocamento de Wien temos:

$\lambda_{pico} T = 2,9{\cdot}10^-3 m {\cdot} K$

$T = \frac{2,9{\cdot}10^-3 m {\cdot} K}{500 {\cdot} 10^-9 m}$

$T = 5800K$

INTERMEDIÁRIO

Se o universo é plano e feito somente de matéria, pode-se partir da gravitação de Newton:

$m{\ddot R} = - \frac{GM(R)m}{R^2}$

${\ddot R} = - \frac{GM(R)}{R^2}$

Mas, $M(R) = {\frac{4\pi}{3}}{R(t)^3}{\rho(t)}$:

${\ddot R} = - \frac{G{\frac{4\pi}{3}}{R(t)^3}{\rho(t)}}{R(t)^2}$

${\ddot R} = - \frac{G{\frac{4\pi}{3}}{R(t)^2}{\rho(t)}}{R(t)^2}$

${\ddot R} = - \frac{4 \pi G \rho(t) R(t)}{3}$

${\ddot R} = - \frac{4 \pi G \rho(t) R(t)}{3}$

Mas, $R(t) = a(t) \cdot r_0$, onde $r_0$ é a distância comóvel:

$r_0{\ddot a} = - \frac{4 \pi G \rho(t) a(t) r_0}{3}$

${\ddot a} = - \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}$ (Equação da aceleração na formulação newtoniana)

Substituindo na equação do parâmetro de desaceleração:

$q = \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)^2}{3({\dot a})^2}$

Para encontrar a densidade crítica, partiremos da equação da aceleração na formulação newtoniana. A densidade crítica é, por definição, a densidade de um universo descrito por geometria euclideana, isto é, com curvatura zero.

${\ddot a} = - \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}$

${\ddot a} + \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3}= 0$

Multiplicando a equação por $\dot a$

${\ddot a}{\dot a} + \frac{4 \pi G \rho(t) a(t)}{3} {\dot a}= 0$

$\rho(t) =\frac{\rho_0}{a(t)^3}$

${\ddot a}{\dot a} + \frac{4 \pi G \rho_0}{3a(t)^2} {\dot a}= 0$

Notando-se que $2{\ddot a}{\dot a} = {\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2]$ e que $\frac{\dot a}{a^2} = - {\frac{d}{dt}}[\frac{1}{a}]$, temos:

$\frac{1}{2}{\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2] - \frac{4 \pi G \rho_0}{3}{\frac{d}{dt}}[\frac{1}{a}] = 0$

${\frac{d}{dt}}[(\dot a)^2 - \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a}}] = 0$

$(\dot a)^2 - \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a}} = k$

Para um universo plano, $k = 0$;

logo:

$(\dot a)^2 = \frac{8 \pi G \rho_0}{3}{\frac{1}{a(t)}}$

mas, $\rho(t)a(t)^3 = \rho_0$

$(\dot a)^2 = \frac{8 \pi G \rho_c a(t)^2}{3}$

Resolvendo para $\rho_c$

$\rho_c = \frac{3(\frac{\dot a}{a})^2}{8 \pi G}$

O parâmetro de densidade será:

$\Omega = \frac {\rho(t)}{\rho_c}$

$\Omega = \frac{8 \pi G \rho(t) a(t)^2}{3({\dot a})^2}$

Dividindo $q$ por $\Omega$:

$\frac{q}{\Omega} = 1/2$

AVANÇADO

a) Primeiramente, devemos converter para coordenadas eclípticas:

   Figura 1: esfera para conversão de coordenadas equatoriais (2019) em coordenadas eclípticas, a distância angular entre os pontos $PCN$ e $PNE$ é $23^{\circ}27'$ .

Pela lei dos cossenos, obtemos a latitude eclíptica:

$sen\beta = sen\delta_{2019} cos 23^{\circ}27' - cos \delta sen 23^{\circ}27' sen \alpha_{2019}$

$\beta = 39^{\circ}36'43,06"$

Pela lei dos senos, obtemos a longitude eclíptica:

$cos\lambda_{2019} = \frac{cos \delta_{2019}}{cos\beta} cos\alpha$

$\lambda_{2019} = 104^{\circ}20'57,5"$

Agora, convertamos as coordenadas de 2019 para as da data. Para isso, calculemos a variação na longitude eclíptica:

$\Delta \lambda = \frac{2019-(-2700)}{25772} {360}^{\circ}$

$\Delta \lambda =65^{\circ}55'4,98"$

Logo:

$\lambda_{data} = \lambda_{2019} - \Delta \lambda$

$\lambda_{data} = 38^{\circ}25'52,59"$

 Figura 2: esfera de precessão.

Calculemos o ângulo $\theta$:

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo Estrela - PCN2019 - PNE:

$cos\theta = \frac{sen\delta_{2019} - cos 23^{\circ}27'sen\beta }{sen 23^{\circ}27' cos\beta}$

$\theta = 14^{\circ}20'57,57"$

Calculemos a declinação de Sírius na data:

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo Estrela - PCN Data - PNE:

$sen\delta_{Data} = cos 23^{\circ}27'sen\beta + sen 23^{\circ}27'cos\beta cos(\Delta \lambda - \theta)$

$\delta_{Data} = -23^{\circ}13'35,58"$

Agora, calculemos a ascensão reta na data:

Figura 3: esfera para conversão de coordenadas eclípticas em equatoriais da data, a distância angular entre os pontos $PCN$ e $PNE$ é $23^{\circ}27'$ .

Pela lei dos senos:

$cos\alpha_{data}= \frac{cos \beta}{cos\delta_{Data}} cos\lambda_{Data}$

$\alpha_{Data}= 3^h 15^{min} 48,23^s$

b) De agora em diante, não serão mais usados os códigos 2019 e Data, pois todos os ângulos serão trabalhados na data.

Para calcular o tempo sideral, lembremos a sua definição:

$t = \alpha + H$

Calculemos $H$, o ângulo horário:

No nascer, o ângulo horário será:

$H = - arccos(-tan\phi tan \delta)$

$H = - 5^h 10^{min} 56,74^s$

Logo, t será:

$t = 22^h4^{min}51,49^s$

c) Para obter a longitude eclíptica do Sol, primeiro deveremos conhecer sua ascensão reta. Como não podemos assumir que o Sol esteja na mesma declinação de Sírius, necessariamente, não podemos dizer que seu ângulo horário é o mesmo. Temos a equação $\alpha_{Sol} + H_{Sol} = t$, com duas incógnitas. Para resolver o problema, precisamos de outra equação também com essas duas incógnitas.

Similar ao que fizemos para Sírius, temos:

$H_{Sol}= - arccos(-tan\phi tan \delta_{Sol})$

No entanto, podemos encontrar $tan \delta_{Sol}$ em função de $\alpha_{Sol}$

Figura 4, conversão de coordenadas eclípticas em equatoriais do Sol. Créditos: BOCZKO, Roberto - Conceitos de Astronomia.

Pela lei do cosseno-cosseno:

$cos\alpha_{Sol} cos 90^{\circ} = sen \alpha_{Sol} cot \delta_{Sol} - sen 90^{\circ} cot \epsilon$

$tan \delta_{Sol} = tan\epsilon sen\alpha_{Sol}$

Substituindo:

$cos H_{Sol}= (-tan\phi tan\epsilon sen\alpha_{Sol})$

Temos a nossa segunda equação!

sejam $tan\phi tan\epsilon = k$

$H_{Sol} = x$

$\alpha_{Sol} = y$

Logo:

$t=x+y$

$cos x = -kseny$

Pelo seno da soma, temos:

$sen t =senxcosy+senycosx$

$sen t = \sqrt{1-cos^2 x}\sqrt{1-sen^2 y} -ksen^2 y$

Seja $sen t = u$ e $sen^2 y = v$

Resolvendo para v:

$u+kv= \sqrt{(1-k^2 v)(1-v)}$

Elevando a equação ao quadrado:

$u^2 + 2kuv + k^2v^2 = (1-k^2 v)(1-v)$

$u^2 + 2kuv + k^2v^2 = 1-v-k^2v+k^2v^2$

$v=\frac{1-u^2}{1+2ku+k^2}$

$\alpha_{Sol} =4^h 52^{min} 16,06^s$

Da figura 4 e da lei do cosseno-cosseno, tiramos que:

$tan \lambda_{Sol} = \frac{tan\alpha_{Sol}}{cos\epsilon}$

$\lambda_{Sol}=74^{\circ}23'40,2"$

d) Os equinócios ocorrem quando a longitude eclíptica do Sol é $0^{\circ}$ ou $180^{\circ}$.

$\lambda = \lambda_0 + N \frac{360}{365}$, onde N é o número de dias.

Resolvendo para N:

$N=({\lambda - \lambda_0}) \frac{365}{360}$

Onde $\lambda_0 = 74^{\circ}23'40,2"$

Resolvendo:

$N_0 = 284,6$; ou o dia 44 da Colheita

$N_{180^{\circ}} = 107,1$; ou o dia 107 da Cheia

e)Os solstícios ocorrem quando o Sol tem longitude eclíptica $90^{\circ}$ e $270^{\circ}$.

Utilizando a mesma equação do item D:

$N=({\lambda - \lambda_0}) \frac{365}{360}$

$N_{90^{\circ}} = 15,8$; ou o dia 15 da Cheia.

$N_{270^{\circ}} = 198,3$; ou o dia 78 da Emergência.