Soluções Astronomia - Semana 41

INICIANTE

a) A distância de uma estrela pode ser determinada a partir da paralaxe trigonométrica da seguinte maneira:

$d(pc)=\frac{a(UA)}{p(")}$

Onde $a$ é o semi-eixo maior da orbita do planeta a partir do qual se mede o ângulo paralático $p$.

Calculando para a Terra, onde $a=1 UA$:

$d=40 pc$

b)Utilizando o módulo da distância, temos:

$m-M=5log(d)-5$

Substituindo valores e resolvendo para $M$, temos:

$M=-1$

c) Adaptando a Lei de Pogson para magnitudes absolutas e luminosidades (Análogo à magnitudes aparentes e fluxos):

$M-M_{\odot}=-2,5log(\frac{L}{L_{\odot}})$

Substituindo valores e resolvendo para $L$, temos:

$L=211 L_{\odot}$

INTERMEDIÁRIO

As duas soluções do problema diferem porque os azimutes das estrelas podem ser iguais ou separados por $180^{\circ}$.

Primeiro, para o caso em que ambas as estrelas têm mesmo azimute:

Utilizando a figura, vemos que o dobro da distância polar é a diferença de alturas. Assim, encontramos a declinação:

$2\cdot(90^{\circ}-|\delta|)=60^{\circ}-10^{\circ}$

$\delta=-65^{\circ}$

Ainda utilizando a figura, vemos que o módulo da latitude é dado pela soma da menor altura com a distância polar ou a diferença entre a maior altura e a distância polar.

$|\phi|=10^{\circ}+(90^{\circ}-|\delta|)$

$\phi=-35^{\circ}$

Segundo, para o caso em que as estrelas tem azimutes separados de $180^{\circ}$:

Pela figura, vemos que a soma das alturas com o dobro da distância polar deve ser igual a $180^{\circ}$.

$2\cdot(90^{\circ}-|\delta|)+60^{\circ}+10^{\circ}=180^{\circ}$

$\delta=-35^{\circ}$

Agora, calculemos a latitude $\phi$:

Somando a distância polar com a menor das alturas obtemos o módulo da latitude.

$|\phi|=(90^{\circ}-|\delta|)+10^{\circ}$

Finalmente:

$\phi=-65^{\circ}$

AVANÇADO

Este problema pode ser resolvido pensando sobre o que são matéria, radiação e sobre o conceito de energia escura fornecido no problema.

a) A partir da famosa equação $E=mc^2$ podemos chegar numa relação entre densidade de energia e densidade de matéria:

$E=mc^2$

Dividindo ambos os lados pelo volume do universo, $V$:

$\epsilon=\rho c^2$

Onde $\epsilon$ é a densidade de energia e $\rho$ é a densidade de matéria.

Assim, conclui-se que $\epsilon$ e $\rho$ são diretamente proporcionais.

Se a densidade é inversamente proporcional ao volume e, consequentemente, inversamente proporcional ao cubo do raio do universo, que, por sua vez, é proporcional ao fator de escala, temos que a densidade é inversamente proporcional ao cubo do fator de escala. Temos assim:

$\rho=\rho_0\cdot a^{-3}$

$\epsilon=\epsilon_0\cdot a^{-3}$

Onde $\rho_0$ e $\epsilon_0$ são as densidades de matéria e de energia atualmente.

b) Assim como a matéria, a densidade de fótons cairá com o cubo do fator de escala. No entanto, a energia dos fótons é inversamente proporcional ao comprimento de onda, que, por ser um comprimento, é proporcional ao fator de escala, logo, a energia de um fóton somente será inversamente proporcional ao fator de escala. Juntando esses dois fatores, temos que a energia da radiação será inversamente proporcional à quarta potência do fator de escala.

Assim:

$\epsilon=\epsilon_0\cdot a^{-4}$

c) Se a energia escura é a energia do espaço vazio e somente há energia escura, quer dizer que este universo é vazio!

Logo, à medida que ele expande mais espaço vazio é criado e, dessa forma, mais energia escura é gerada. Assim, a densidade de energia escura é constante, e consequentemente, a densidade de energia total desse universo, em específico, também.