Soluções Astronomia - Semana 45

INICIANTE

Para resolver o problema, precisamos saber que a temperatura é inversamente proporcional ao fator de escala.

Assim, temos:

$\frac{a_0}{a_{rec}}=\frac{T_{rec}}{T_0}$

Sabemos também que o comprimento de onda é proporcional ao fator de escala:

$\frac{a_0}{a_{rec}}=\frac{\lambda_0}{\lambda_{rec}}$

Dessa forma, subtraindo $-1$ de ambos os lados:

$\frac{a_0}{a_{rec}}-1=\frac{\lambda_0-\lambda_{rec}}{\lambda_{rec}}$

Lembremos que neste caso, $\lambda_{rec}$ é o comprimento de onda emitido, enquanto que $\lambda_0$ é o comprimento de onda observado atualmente.

Assim temos:

$\frac{a_0}{a_{rec}}=z+1$

$\frac{T_{rec}}{T_0}=z+1$

Substituindo valores:

$T_{rec}$ ${\approx}$ $3000K$

INTERMEDIÁRIO

Sabendo que galáxias espirais tem brilho superficial constante, tiramos que a sua luminosidade pode ser modelada da seguinte forma:

$L=I\pi r^2$ Eq. 1

Isolando $r$:

$r=\sqrt{\frac{L}{I\pi}}$ Eq. 2

Assumindo uma relação Massa-Luminosidade média para a galáxia, temos:

$(\frac{M}{L})^{\alpha}=K$ Eq. 3

Encontrando a massa em termos da velocidade máxima observada:

$v^2_{max}=\frac{GM}{r}$ Eq. 4

Substituindo a Eq. 2 na Eq. 4:

$v^2_{max}=\frac{GM}{\sqrt{\frac{L}{I\pi}}}$

Elevando tudo ao quadrado, multiplicando o lado direito da equação por $L/L$ e declarando que $G^2I\pi=A$:

$v^4_{max}=\frac{AM^2L}{L^2}$

Assim:

$L=A^{-1}(\frac{M}{L})^{-2}v^4_{max}$

Portanto:

$L$ $\propto$ $v^4_{max}$

AVANÇADO

Para resolver o problema devemos conhecer o teorema do virial, que nos diz que o módulo do dobro da energia cinética média de um sistema autogravitante é o módulo da energia potencial gravitacional média.

Matematicamente:

$2<K>=-U$

Continuando:

$2\frac{M<v^2>}{2}=\frac{3}{5}\frac{GM^2}{R}$

Elevando ambos os lados ao quadrado:

${<v^4>}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2}{r^2}$

Agora, consideremos o brilho superficial da galáxia:

$I=\frac{L}{4{\pi}r^2}$

Isolando o raio:

$r^2=\frac{L}{4{\pi}I}$

Substituindo:

${<v^4>}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2}{\frac{L}{4{\pi}I}}$

No entanto, sabemos que a componente quadrática radial média da velocidade, é um terço da velocidade quadrática média na galáxia, assim:

${9\sigma^4}=\frac{9}{25}\frac{G^2M^2{4{\pi}I}}{L}$

Multiplicando o membro direito da equação por $\frac{L}{L}$:

${\sigma^4}=L\frac{G^2M^2{4{\pi}I}}{25L^2}$

Sabemos, do problema anterior, que a razão massa-luminosidade é constante, logo:

$L$ $\propto$ $\sigma^4_{max}$