Soluções Astronomia - Semana 52

INICIANTE

Para resolvermos o problema, separaremos em três partes:

Para a estrela $E_1$, onde $m_1$=1 e $L_1=4L_s$, com $d_t$=distância do Sol a Terra,

$m_1-m_s=-2,5log{\frac{4L_s}{4\pi {d_1}^2}\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$

$d_1=1,0\cdot10^{17}m$

Para $E_2$, de $m_2$=-0,5 e $L_2=7L_s$,

$m_2-m_s=-2,5log{\frac{7L_s}{4\pi {d_2}^2}\cdot\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$

$d_2=7,0\cdot10^{16}m$

Para $E_3$, de $m_3$=4 e $L_3=L_s$,

$m_3-m_s=-2,5log{\frac{L_s}{4\pi {d_3}^2}\cdot\frac{4\pi{d_t}^2}{L_s}}$

$d_2=2,1\cdot10^{17}m$

Assim, o presente de Bismarck será $E_2$, que dista $d_2=7,0\cdot10^{17}m$

INTERMEDIÁRIO

Para resolvermos este problema, devemos nos basear nos conceitos de órbita relativa entre dois corpos.

Assim, primeiramente, para calcular a velocidade relativa ao observador, por efeito doppler, temos

$\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0}=\frac{v_r}{c}$

$v_r=16,4km/s$

$v_G=\frac{v_r}{cos{30}}$

Assim, por centro de massa, onde $r=r_G+r_L$

$r=r_G\frac{M_G+M_L}{M_L}$

Derivando em relação ao tempo, temos a velocidade relativa

$v=v_G\frac{M_G+M_L}{M_L}=\frac{v_r}{cos{30}}\frac{M_G+M_L}{M_L}$

$v=23,6km/s$

Por conservação de energia, com $M=M_G+M_L$ e $a=a_G+a_L$,

$-\frac{GM}{2a}=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{d}$

$a=\frac{GMd}{2GM-v^2 d}=1,1UA$

Finalmente, pela terceira lei de Kepler,

$\frac{P^2}{a^3}=\frac{1}{M}$

$P=0,5ano$

AVANÇADO

Primeiramente, devemos calcular o tamanho do cone de sombra da Terra no momento

Por semelhança de triângulos, temos

$\frac{d_s+a+x}{R_s}=\frac{x+a}{R_t}$

$x=\frac{a R_t + d_s R_s - a R_s}{R_s-R_t}$

$x=1,00\cdot10^6km$

$R_e= R_t\frac{x}{a+x}$

$R_e=4,61\cdot10^3km$

Para definirmos, da Terra a inclinação da órbita lunar:

$tan{i}=\frac{R_e-\Delta r}{d_t}$

Considerando que, para R_L, aproximadamente 50% da Lua está encoberta, temos $\Delta r$

$\Delta r= \frac{6}{5}R_L-R_L=\frac{1}{5}R_L$

$tan{i}+\frac{R_e-\frac{R_L}{5}}{d_t}$

a)$i=0,63^{\circ}$

A velocidade da Lua pode ser descrita por

$v^2=\frac{GM}{a}$

$v=1,02km/s$

A trajetória da lua pode ser descrita, aproximadamente, por

$\frac{2(R_e^2-a^2sen^2i)^{1/2}+2R_L}{\Delta t}=v$

b)$\Delta t= 93,3 minutos$

Para calcular a velocidade angular da lua, usamos

$\omega=\frac{v}{a}=13,2^{\circ}/dia$

Esquematizando a órbita lunar, com $epsilon=5,14^{\circ}$,

$sen{\omega \Delta T}=\frac{sen{i}}{sen{\epsilon}}$

$\Delta T= 0,53$

$d=22,47$

c)Logo, no dia 22/03.