Soluções Astronomia - Semana 54

INICIANTE

(Em manutenção)

INTERMEDIÁRIO

Para resolvermos o problema, devemos primeiramente calcular o período da Lua, por meio da terceira lei de Kepler

$P^2=\frac{4{\pi}^2 {d_L}^3}{GM_T}$

$P=27$

Porém, há um movimento relativo entre a Lua e a Terra devido à rotação desta em torno do próprio eixo. Dessa forma, o período entre fases lunares iguais consecutivas é o período sinódico

$\frac{1}{P_s}=\frac{1}{P_T}+\frac{1}{P_L}$

$P_s=29,5 dias$

Como no dia 10 a Lua estava nova, no dia $10+\frac{29,5}{2}\approx 25$ a lua estará cheia.

Até o dia 23/03, equinócio de Março, terão se passado $\Delta t=72 dias$ . Assim,

$25+n.29,5>72, para n\in N$

Assim, a primeira lua cheia após o equinócio será dia 25 de Março (n=2, dia 84).

Como dia 10 de janeiro foi um domingo, passados 84-10=74 dias, o dia de semana será 74=7.10+4, quinta feira. O primeiro domingo, portanto, é dia 28 de Março (dia 87).

Assim, como o carnaval cairá 47 dias antes(87-47), ocorrerá dia $19$ $de$ $Fevereiro$ .

AVANÇADO

Para iniciarmos a resolução, devemos nos atentar primeiramente a velocidade com a qual o foguetinho é lançado.

Como ele percorre, em uma órbita de transição elíptica, um ângulo de $180^{\circ}$ , sabemos que o periélio $q=a(1-e)=R_T$ Assim,

$v^2=GM_T(\frac{2}{R_T}-\frac{1}{a})$

$a=9,90\cdot10^7m$

Então $e=1-\frac{R_T}{a}=0,93$

Pela terceira lei de Kepler, descobrimos o período T:

$\frac{T^2}=a^3\frac{4{\pi}^2}{GM_T}$

$T=86horas$

O peírodo da órbita circular é, portanto,

$\frac{{T_c}^2}=(a(1+e))^3\frac{4{\pi}^2}{GM_T}$

$T_c=10dias$

O raio $R_o$ da órbita na qual o foguete se instala é, portanto, $R_o=a(1+e)=1,95\cdot10^8m$ . Com esses dados, podemos descobrir a velocidade angular $\omega_f=\frac{360^{\circ}}{T_c}=1,5^{\circ}/hr$ em tal órbita.

O objeto fora lançado de um ponto cujo TSL=0h. Após $\frac{T}{2}$ , então, ele teria uma "ascensão reta" de $\alpha_f$ =12h.

O ponto P= $(0^{\circ};0^{\circ})$ estará a um ângulo $\theta=\omega_t \frac{T}{2}\equiv285^{\circ}$

O ângulo entre eles é, portanto, $\phi=105^{\circ}$ . Após 57,01 dias, o foguete terá percorrido $\theta_f=\omega_f \Delta t\equiv252^{\circ}$ e o ponto P $$ \theta_t= \omega_t \Delta t\equiv3,6^{\circ}$ . Temos, então, $\Phi=\theta_f-(\phi+\theta_t)=143,4$ Esquematizando: