Soluções Astronomia - Semana 58

INICIANTE

Sabemos que o tempo sideral local (TSL) será:

$TSL = \alpha+H = 17h17min+13h47min \implies TSL=07h04min$

Para o Sol, temos algo analogo. Como a sombra é mínima, o Sol está culminando, logo seu ângulo horário é $0^o$, então:

$TSL=\alpha_{\odot}+H_{\odot} \implies \alpha_{\odot}=07h04min$

Agora, utilizando a ascensão reta do Sol sabemos que ele se localiza na constelação de Gêmeos.

INTERMEDIÁRIO

Primeiramente, precisamos encontrar a data em que ocorre a observação. Chamaremos de $\lambda_{\odot}$ a longitude eclíptica do Sol e de $\epsilon$ a inclinação do plano da eclíptica com o plano do equador celeste ($\epsilon=23,5^o$) Utilizando o triângulo esférico da figura abaixo, encontramos pela fórmula da cotangente:

$cos\epsilon . cos y = sen y .cot x - sen \epsilon . cot 90^o$
$x = 75,3 ^o \implies \lambda_{\odot}=104,7 ^o$

Assumindo que o movimento do Sol sob a ecliptica tem velocidade constante, encontramos o número d de dias desde o momento em que o Sol tem ascensão reta nula (21/3).

$\frac{\lambda_{\odot}}{360^o}=\frac{d}{365,25 dias} \implies d= 106 dias$

Assim, a data da observação é 05/07.

Seja TSVL o tempo solar verdadeiro local, TSML o tempo solar médio local, TSMF o tempo solar médio do fuso e E a equação do tempo para esta data. Temos pelo gráfico que a equação do tempo vale para este dia cerca de -4 minutos, assim podemos encontrar o TSMF da seguinte forma:

$E=TSVL-TSML \implies TSML=TSVL-4min=H_{\odot}+12h-4min$

$TSML=11h56min$

Para fazer a correção para a hora civil, devemos utilizar a correção de longitude para o centro do fuso, que é igual ao TSMF. Seja $\Delta\lambda$ a diferença entre a longitude de Rockledge e a longitude do fuso, temos:

$TSMF=TSML+\Delta\lambda \implies TSMF=12h19min$

Por fim, devemos levar em conta o fuso horário, adicionando uma hora ao valor encontrado, descobrindo então que o horário da observação foi 13h19min.

AVANÇADO

Primeiramente, vamos descobrir as coordenadas equatoriais de Deneb a partir dos dados fornecidos por Shoji. Para isso, vamos utilizar o triângulo esférico formado pelo polo celeste norte, o zênite de seu local de observação e a estrela Deneb (triângulo 1 da figura abaixo):

$sen\delta=sen h.sen\phi+cos h. cos\phi. cos (360^o-A)$
$\delta= 44,76 ^o$

$cos\phi.cos\delta.cos H= cos h-sen\phi.sen\delta$
$H=13^o 00'$

Agora, pelo tempo sideral local, encontramos a ascensão reta $\alpha$ de Deneb:

$TSL=H+\alpha \implies \alpha=21h35min-52min = 20h43min$

Agora, podemos voltar para Rockledge. Chamaremos todas as variáveis em Rockledge como $X_R$.
Para descobrir o tempo sideral local em que a altura será de 26$^o$, utilizaremos novamente o tempo sideral local. Para tal, precisamos encontrar o ângulo horário no triângulo 1 da figura acima, desta vez utilizando as coordenadas de Rockledge:

$cos H.cos\phi.cos\delta=cos h-sen\phi.sen\delta$
$H_R=25,38^o$

$TSL_R=H_R+\alpha=1h42min+20h43min=22h25min$

Por fim, para descobrir se Shoji consegue visualizar Alkaid, vamos achar a distância angular d entre Deneb e Alkaid a partir do triângulo 2 da figura acima.

$cos d=sen\delta_A.sen\delta_D+cos\delta_A.cos\delta_D.cos\Delta\alpha$
$d= 65,04^o$

Agora basta notar que qualquer ponto no céu com distância menor ou igual à altura de Deneb estará no céu. Como d$<$h, então Alkaid está no céu de Shoji.