Soluções Astronomia - Semana 72

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INICIANTE

Pela Lei de Wien, que relaciona o comprimento de onda tal que a radiância é máxima ($\lambda_{max}$) com a temperatura $T$ da estrela, que pode ser aproximada como um corpo negro, temos:

$\lambda_{max} \cdot T=2.898\cdot 10^{-3}$

$T=5269K$

Agora, sabemos que o fluxo bolométrico (energia por tempo por área) da estrela, $F$, é tal que $F=\sigma T^4$. Este se propaga a partir da estrela em todas as direções (esfericamente simétrico), e para uma distância igual ao raio da estrela, temos toda a energia emitida pela estrela por unidade de tempo, também conhecida como luminosidade, logo:

$L=4\pi R^2 \sigma T^4$

$L=2.66\cdot 10^{26} W$

INTERMEDIÁRIO

Assumindo que estrela está em equilíbrio, podemos utilizar a fórmula da Lei de Stevin para encontrar a pressão em função da densidade, campo gravitacional e raio:

$\dfrac{dP}{dr}=-\rho g$

No entanto, não sabemos ainda como se comportará o campo gravitacional. Primeiro, é importante esclarecer a qual campo gravitacional estamos no referindo. Como queremos a pressão em função do parâmetro $r$, pegaremos justamente o campo gravitacional a uma distância $r$ do centro.  Para isso, imagine uma esfera de raio $r$. Sabemos que seu campo gravitacional é dado por $g=\dfrac{Gm(r)}{r^2}$. No entanto, teoricamente ainda há o campo gravitacional que o resto da estrela faz nessa região. Felizmente, é conhecido que o campo gravitacional dentro de uma "coroa" esférica é nulo. Dessa forma, o campo a uma distância $r$ é simplesmente $g=\dfrac{Gm(r)}{r^2}$. Agora, precisamos calcular $m(r)$. Pela definição de densidade, sabemos que em um elemento de volume $dV$ existe uma massinha $dm=\rho dV$. Aproveitando a simetria esférica do problema, sabemos que $dV=4\pi r'^2dr'$ (usamos r' só para não confundir com o $r$ do raio da esfera). Logo,

$dm=\rho dV$

$m(r)=\displaystyle\int\limits_0^r \dfrac{3\rho_c}{4\cancel{r'^2}}\,4\pi \cancel{r'^2}dr'=3\pi\rho_c\displaystyle\int\limits_0^rdr'$

$m(r)=3\pi\rho_c r$

Então, o campo gravitacional $g(r)$ é:

$g(r)=\dfrac{Gm(r)}{r^2}=\dfrac{3\pi\rho_c G\,r}{r^2}$

$g(r)=\dfrac{3\pi\rho_c G}{r}$

Agora que temos o campo gravitacional, podemos aplicar a Lei de Stevin:

$\dfrac{dP}{dr'}=-\rho g=-\dfrac{3\rho_c}{4r'^2}\dfrac{3\pi\rho_c G}{r'}=-\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r'^3}$

$dP=-\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r'^3}dr'$

É evidente que basta integrarmos os dois lados para encontrar o resultado, mas antes disso, é necessário discutir os limites de integração. Para $r'=r$, sabemos que $P=P(r)$. Em qual outro lugar sabemos o valor da pressão? Lembre-se que estamos assumindo o equilíbrio da estrela, ou seja, ela não está aumentando de tamanho nem nada. Isso nos diz que lá na superfície da estrela, a resultante das forças é nula. Entretanto, para fora da estrela, temos apenas vácuo, o qual não exerce pressão externa. Dessa forma, concluímos que $P(R)=0$, em que $R$ é o raio da estrela, pois, caso contrário, ela expandiria. Integrando:

$\displaystyle\int\limits_{P(r)}^0 dP=\displaystyle\int\limits_r^R -\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4r'^3}dr'\Rightarrow P(r)-0=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4}\displaystyle\int\limits_r^R \dfrac{dr'}{r^3}$

$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{4}\left(\left.-\dfrac{1}{2r'^2}\right)\right|_r^R$

$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{1}{R^2}\right)$

Infelizmente, o enunciado explicita que só podemos dar a resposta em função da massa $M$ da estrela, a distância $r$ ao centro e constantes, ou seja, precisamos trocar esse $R$ pelo $M$. Para fazer isso, note que a massa da estrela é simplesmente $m(R)$, portanto:

$M=3\pi\rho_c R$

$R=\dfrac{M}{3\pi\rho_c}$

Finalmente,

$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{1}{\left(\frac{M}{3\pi\rho_c}\right)^2}\right)$

$P(r)=\dfrac{9\pi\rho_c^2G}{8}\left(\dfrac{1}{r^2}-\dfrac{9\pi^2\rho_c^2}{M^2}\right)$

AVANÇADO

a) Para encontrar o semieixo maior $a$, basta utilizarmos o fato de que a energia total de uma órbita fechada é $E_{tot}=-\frac{GMm}{2a}$. Assim:

$K+U=E_{tot} \Leftrightarrow \frac{mv_0^2}{2}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{2a}$

Logo:

$a=\frac{1}{\frac{2}{R}-\frac{v_0^2}{GM}}$

O período é dado pela Terceira Lei de Kepler:

$T=\frac{2\pi a^{3/2}}{\sqrt{GM}}$

b) Sabemos que, para toda elipse, $r_1 + r_2 = 2a$, onde $r_1$ e $r_2$ são as distâncias de um ponto da elipse até os focos primário ($S$) e secundário ($F$), respectivamente. Assim, como o ponto $P$ pertence à órbita elíptica e $r_1=|SP|=R$, temos que $r_2=2a-R$. Ou seja, todos os pontos que distam $2a-R$ do ponto $P$ são possíveis focos secundários, que equivale a uma circunferência de raio $FP=2a-R$

c) Novamente, sabemos que a soma das distâncias de um ponto da elipse até seus focos é $2a$. Assim:

$|SQ|+|QF|=2a \Rightarrow |QF|=2a-|SQ|=2a-r$

d) Recapitulando tudo o que vimos até aqui com um desenho:

No $\Delta PQF$ podemos utilizar a desigualdade triangular para determinar $|PQ|$ máximo:

$|PQ| \leq |QF|+|FP| \Rightarrow |PQ|_{max}=4a-R-r$

Note que o caso em que $Q$ e $P$ estão no periélio e afélio não é necessário: basta que o ângulo de lançamento seja escolhido tal que $Q$, $F$ e $P$ sejam colineares. Além disso, a escolha do triângulo $\Delta QSP$ não funciona pois ela exige que a posição do ponto $Q$ mude para a distância ser máxima, já que os pontos $S$ e $P$ são pré-determinados, e isso não é o que queremos. Estamos procurando um ângulo de lançamento qualquer (que muda somente a posição de $F$) que seja suficiente para alcançarmos um ponto $Q$ fixo.

e) Como estamos procurando pelo contorno dos pontos tal que $|PQ|$ é máximo, devemos fixar $|PQ|=4a-R-r$. Agora, olhando para o triângulo $\Delta SQP$ vemos algo interessante: a soma $|SQ|+|PQ|$ é fixa, não dependendo de $r$. Ou seja, para todos os pontos $Q$ o mais afastados possível de $P$, a condição que a soma das distâncias dos pontos $S$ e $P$ até $Q$ se mantém fixa é cumprida. Isso é a definição de uma elipse de focos $S$ e $P$ e semieixo maior $a'$ tal que $2a'=4a-R \Rightarrow a'=2a-\frac{R}{2}$, e também é conhecida como elipse de segurança. Ela delimita a região de pontos que podem ser atingidos para uma velocidade inicial fixa e ângulo de lançamento qualquer, ou seja, desde que nosso estudante fique fora dela, estará seguro.