Soluções Astronomia - Semana 78

INICIANTE

Podemos encontrar a distância até P10 usando o módulo de distância:

$m-M = 5log(d) - 5$

$6,5 - 3,7 = 5log(d) - 5$

$d = 36,31\ pc$

Convertendo essa distância para km obtemos $d = 1,12\cdot10^{15}\ km$
Daí, podemos obter o tempo decorrido nessa viagem usando $v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ porque a nave viaja a essa velocidade constantemente, portanto

$\Delta t = \dfrac{\Delta s}{v} = 7,47\cdot 10^{12}\ s = 237000$ anos.

INTERMEDIÁRIO

Antes de tudo, vamos utilizar uma imagem de um triângulo esférico para entender melhor o que se diz no enunciado:

O enunciado nos diz que devemos provar que em um triãngulo esférico equilátero os ângulos não podem ser todos iguais a $60^{\circ}$. Daí, podemos dizer que todos os lados desse triângulo são iguais e podemos chamar todos de "a" pois se trata de um triângulo equilátero. Além disso, podemos dizer que todos os ângulos internos são iguais, porque há uma propriedade da geometria esférica que nos diz que os ângulos são proporcionais aos lados e portanto, como todos os lados são iguais, seus ângulos também são iguais e então, vamos chamar todos de "x".

Agora que entendemos o que se passa no exercício e convencionamos uma notação, vamos aplicar uma lei dos cossenos em algum lado qualquer (o resultado será igual independentemente do lado utilizado porque todos são iguais):

$\cos{a}=\cos{a}\cos{a}+\sin{a}\sin{a}\cos{x}$

$\cos{a}=\cos^2{a} + \sin^2{a}\cos{x}$

Utilizando a relação fundamental da trigonometria podemos obter que $1-\cos^2{a} = \sin^2{a}$. Assim, podemos substituir na lei dos cossenos e obter:

$\cos{a}=\cos^2{a} + \cos{x}\left(1-\cos^2{a}\right)$
$\dfrac{\cos{a}-\cos^2{a}}{1-\cos^2{a}}=\cos{x}$
$\dfrac{\cos{a}{\left(1-\cos{a}\right)}}{\left(1+\cos{a}\right)\cdot{\left(1-\cos{a}\right)}} = \cos{x}$
$\dfrac{\cos{a}}{1+\cos{a}}=\cos{x}$

Vamos assumir que $x=60^{\circ}$.

Como $\cos{60^{\circ}=\dfrac{1}{2}}$ temos:

$\dfrac{\cos{a}}{1+\cos{a}}=\dfrac{1}{2}$
$\cos{a}=\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cdot\cos{a}$
$\dfrac{1}{2}\cdot\cos{a}=\dfrac{1}{2}$
$\cos{a}=1$

Daí podemos chegar a conclusão que os lados "a" devem ser algum múltiplo de $360^{\circ}$, incluíndo o $0^{\circ}$, o que é um absurdo! Portanto, um triângulo esférico equilátero NÃO pode ter ângulos internos iguais à $60^{\circ}$.

AVANÇADO

a) Usando a Terceira Lei de Kepler podemos chegar em:

$\dfrac{P^2}{a^3} = \dfrac{4\pi^2}{GM} \rightarrow a = \sqrt[3]{\dfrac{P^2GM}{4\pi^2}}$

Daí concluímos que $a = 4,22 \cdot 10^{7}$ m.

b) Como a potência que chega em um determinado espelho é proporcional à área desse espelho, é possível demonstrar a partir de pogson que (A dedução com mais detalhes pode ser encontrada no livro Astronomia Olímpica):

$m_{lim} - m_{olho} = -2,5\log\left(\dfrac{d_{olho}}{D_{espelho}}\right)^2$

Portanto, utilizando os dados da tabela de constante e os que nos foram dados no enunciado, concluímos que $m_{lim} = 10,6$.

c) Como André nos disse que não há mais nada a levar em conta, podemos imaginar que o satélite consegue se conectar assim que está acima do horizonte para uma determinada estação de captação. Assim, temos a seguinte situação:

Como o horizonte é definido como o plano tangente àquele ponto no planeta, surge um triângulo retângulo que podemos usar para descobrir o ângulo $\theta$ a partir da trigonometria:

 

$\cos\theta = \dfrac{R}{a}$

Daí concluímos que $\theta \approx 83,5^{\circ}$. Como o ângulo a partir do centro do planeta que a estação consegue captar sinais do satélite é $2\theta$, a quantidade de estações necessárias para cobrir os $360^{\circ}$ do círculo é dada por $N=\frac{360^{\circ}}{2\theta}\approx2,16$. Como devemos ter estações inteiras e não "cortadas", o número total de estações de captação necessárias é o maior número inteiro mais próximo de $N$, portanto, devemos ter 3 estações.

d) Pela definição de extinção atmosférica é possível demonstrar que:

$I=I_{0}\cdot e^{-\tau\sec z}$

Em que $I_0$ é a potência antes de passar pela atmosfera, $I$ é a potência logo depois desse evento, $\tau$ é a profundidade óptica e $z$ é a distância zenital da fonte de luz.
A situação limite entre a comunicação ou não entre o satélite e a estação de captação ocorre quando a magnitude aparente do satélite é numericamente igual à magnitude limite do captador. Unindo pogson com a fórmula anteriormente dita da extinção atmosférica podemos obter:

$m_{lim} - m_0 = -2,5\log\left(\dfrac{I_0\cdot e^{-\tau \sec z}}{I_0}\right)$
$m_{lim} - m_0 = -2,5\log\left(e^{- \tau \sec z}\right)$
$m_{lim} - m_0 = 2,5 \log e \cdot \tau \sec z$
$\sec z = \dfrac{m_{lim}-m_0}{2,5 \tau \log e}$

Substituindo os valores encontramos que $z = 30^{\circ}$.
Agora vamos fazer um esquema da situação para entender melhor o que acontece nesse sistema:

Ampliando um pouco para visualizar melhor:

Perceba que o satélite entra no alcançe da estação quando sua distância zenital vista dela é $z=30^{\circ}$, permanece conectado nessa mesma estação até percorrer um ângulo $2\theta$ em relação ao centro "C" da Terra e sai do alcançe da estação após repetir a situação quando o satélite se conecta com o captador.
Pelo desenho, sabemos que $z'=180^{\circ}-z$. Assim, podemos descobrir "d" utilizando uma lei dos cossenos:

$a^2 = R^2 + d^2 - 2Rd\cos z'$
$d^2 - 2R\cos z'\cdot d + R^2 - a^2=0$

Podemos usar a fórmula de báskhara para obter:

$d = \dfrac{2R\cos z' \pm \sqrt{4R^2\cos^2 z' -4\left(R^2-a^2\right)}}{2}$
$d = R\cos z' \pm \sqrt{R^2\cos^2 z' -R^2+a^2}$

Como $\cos\left(180^{\circ}-z\right) = -\cos z$ (você pode usar soma de arcos para provar isso :D) e algo (real) ao quadrado é positivo (portanto $\cos^2 \left(180^{\circ}-z\right) = \cos^2 z$) teremos:

$d = -R\cos z \pm \sqrt{R^2\cos^2 z + a^2 - R^2}$

Perceba que o termo $-R\cos z$ é negativo porque $R$ é positivo e, como $z=30^{\circ}$, $\cos z$ também é positivo. Disso podemos concluir que a solução dessa equação usando $-$ no lugar do $\pm$ não nos serve, porque $d$ deve ser positivo por ser uma distância. Daí concluímos que:

$d = -R\cos z + \sqrt{R^2\cos^2 z + a^2 - R^2}$

Substindo os valores do enunciado encontramos que $d=3,80\cdot10^{7}\ m$.
Usando uma lei dos senos podemos encontrar o valor do ângulo $\theta$:

$\dfrac{\sin\theta}{d} = \dfrac{\sin z}{a}$
$\sin\theta = \dfrac{d}{a} \sin z$

Substituindo os valores encontrados obtemos que $\theta = 26,76^{\circ}$.
Agora finalmente podemos encontrar a quantidade de estações necessárias, para isso, podemos imaginar uma situação em que as estações estão separadas por um ângulo $2\theta$ no equador. Disso, a quantidade de estações necessárias será dada por $N = \frac{360^{\circ}}{2\theta} = 6,73$. Como não podemos ter estações "parciais", devemos ter o maior número inteiro mais próximo do resultado, portanto, para suprir todos os espaços necessários, devemos ter $N=7$ estações de captação.