Soluções Astronomia - Semana 85

Iniciante

Em Busca do Círculo

Representando o vetor velocidade no hodógrafo para dois instantes separados por um intervalo de tempo \Delta t muito pequeno:

Como o hodógrafo possui raio v, temos, a partir do triângulo formado (\Delta \theta << 1):

\Delta v = 2v\sin{\dfrac{\Delta\theta}{2}} \approx v\Delta \theta

Como \Delta \vec{v} é aproximadamente perpendicular a \vec{v}, concluímos que a aceleração se dá na direção radial, como esperado (a velocidade é tangencial na órbita real). Ainda, sabemos que \Delta \theta/\Delta t=v/R. Assim,

a_{cp}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=v\dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}=\boxed{\dfrac{v^2}{R}}

 

Intermediário

Encontrando o Círculo

a) Da segunda lei de Newton:

-\dfrac{GMm}{r^2}\hat{r}=m\dfrac{d\vec{v}}{dt}

Utilizaremos a definição de momento angular para nos livrar da dependência temporal da equação acima:

L=mr^2\dfrac{d\theta}{dt}\Rightarrow dt=\dfrac{r^2}{h}d\theta

-\dfrac{\mu}{r^2}\hat{r}=\dfrac{h}{r^2}\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}

\dfrac{d\vec{v}}{d\theta}=-\dfrac{\mu}{h}\hat{r}

Precisamos provar que tal equação realmente descreve um círculo e encontrar o seu raio. Perceba que, dada uma variação infinetesimal d\theta da anomalia verdadeira, d\vec{v} possui módulo constante igual a \mu d\theta/h, e aponta na direção -\hat{r}. Isso é idêntico ao problema anterior, com \mu/h correspondendo ao raio do hodógrafo e -\hat{r} à sua direção tangencial; porém, agora, o módulo da velocidade pode variar ao longo da órbita. Para conciliar isso com o formato circular da curva descrita por esse vetor, devemos ter que a origem do espaço de velocidades não corresponde necessariamente ao centro do hodógrafo e que \theta é  medido a partir de uma dada direção em relação a esse centro. Assim, um círculo como o desenhado abaixo obedece a todas as restrições da equação acima e de uma órbita kepleriana arbitrária, devendo corresponder à solução do problema.

b) A maior velocidade ocorre no periastro e a menor ocorre no apoastro. Isso nos permite desenhar:

O raio é dado por

\boxed{\dfrac{v_p+v_a}{2}}

E a distância entre o centro e a origem é

v_p-\dfrac{v_p+v_a}{2}=\boxed{\dfrac{v_p-v_a}{2}}

c) Similarmente:

Com ambos o raio e a distância entre o centro e a origem iguais a

\boxed{\dfrac{v_p}{2}}

 

Avançado

Desvendando o Círculo

a) Para resolver esse item, utilizaremos a equação polar de uma cônica em função da anomalia verdadeira:

r(\theta)=\dfrac{p}{1+e\cos{\theta}}

Onde e é sua excentricidade e p=h^2/\mu o seu parâmetro. Começaremos calculando a velocidade radial em um ponto arbitrário da órbita:

v_r=\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{p}{(1+e\cos{\theta})^2}\cdot e\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{r^2e\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}


x=r\cos{\theta}\Rightarrow v_x=\dfrac{dr}{dt}\cos{\theta}-r\sin{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\sin{\theta}\left(\dfrac{e\cos{\theta}}{1+e\cos{\theta}}-1\right)\dfrac{d\theta}{dt}


v_x=-\dfrac{r^2\sin{\theta}}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=-\dfrac{h\sin{\theta}}{p}=-\dfrac{\mu}{h}\sin{\theta}

Onde utilizamos que h=r^2\tfrac{d\theta}{dt}. Analogamente, no eixo y

y=r\sin{\theta}\Rightarrow v_y=\dfrac{dr}{dt}\sin{\theta}+r\cos{\theta}\dfrac{d\theta}{dt}=r\left(\dfrac{e\sin^2{\theta}}{1+e\cos{\theta}}+\cos{\theta}\right)\dfrac{d\theta}{dt}


v_y=\dfrac{r^2 (e+\cos{\theta})}{p}\dfrac{d\theta}{dt}=\dfrac{\mu}{h}(e+\cos{\theta})

Dessas equações temos que

\boxed{v_x^2+\left(v_y-\dfrac{\mu e}{h}\right)^2=\left(\dfrac{\mu}{h}\right)^2}

Que é a equação de um círculo de raio \mu/h e centro em (v_x,v_y)=(0,\mu e/h).

b) Podemos encontrar o formato do hodógrafo diretamente de sua equação:

Com a principal diferença entre eles sendo a posição relativa de centro e origem.