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Soluções Astronomia - Semana 91

Iniciante

Colapso Solar

Conforme o Sol se contrai, ele perde energia potencial gravitacional que, por conservação de energia, aumenta a energia cinética das partículas do interior do Sol.

O teorema do virial aplicado para a gravidade é:

Ec=12GMmr2r=12GMmr=12Ep

onde Ep é a energial potencial.

Quando o Sol se contrair, metade da energia será convertida em energia cinética e a outra metade será liberada como radiação. Assim, o tempo que irradiará será:

t=12EpL=GM22RL

Substituindo os valores, encontramos:

t=1,57106anos

Intermediário

Satélite de Vivi

a) Esquematizando a projeção do plano da órbita na Terra:

percebe-se que a anomalia verdadeira é θ=90+x

Pela fórmula das quatro partes:

cosicosΔλ=sinΔλcotxsinicot90

cosicosΔλ=sinΔλcotxtanx=tanΔλ cosi

Substituindo os valores, encontramos x=47,22, portanto

θ=90+47,22=137,22

b) Utilizando conservação do momento angular, podemos calcular o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade:

L=mvr

v0r0sinα0=vprp

GM(2H+R1a)(H+R)sinα0=GM(1+e)a(1e)a(1e)=a(1e2)

sinα0=a(1e2)(2H+R1a)1H+R

Para encontrar a exentricidade:

r=H+R=a(1e2)1+ecosθ

H+R+e(H+R)cosθa+ae2=0

Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos e=0,700 ou 0,069, mas e<0,1, logo e=0,069.

Substituindo os valores, temos α0=87,16.

Como Vivi jogou a pedra para cima, o impulso é radial, assim a nova velocidade é:

vf2=vt,02+(vr,0+Δv)2=v02sinα02+(v0cosα0+Δv)2

Como a velocidade tangencial não muda:

vfsinαf=v0sinα0

sinα02+(cosα0+Δvv0)2sinαf=sinα0

αf=85,65

Logo, a variação foi

Δα=|αfα0|

Δα=1,5

 

Avançado

Uma Fer muito veloz

Devido a velocidade, a estrela sofre contração de comprimento no sentido do movimento:

r=rγ=r1v2c2

rr=0,714

onde r é o raio próprio da estrela.

O volume do elipsóide é

V=43πr2r=43πr20,714r

Portanto, a razão entre as densidades aparente e real é:

pp=MVMV=VV

pp=43πr343π0,714r3=10,714=1,4

 

b) Sendo C o tamanho da nave, C o tamanho medido e u a velocidade da outra nave:

CC=14=1γ=1u2c2

u=0,968c

Sendo u a velocidade da nave no referencial estacionário, por adição de velocidades:

u=u+v1+uvc2

u=uv1uvc2=0,83c