Iniciante
Colapso Solar
Conforme o Sol se contrai, ele perde energia potencial gravitacional que, por conservação de energia, aumenta a energia cinética das partículas do interior do Sol.
O teorema do virial aplicado para a gravidade é:
Ec=−12GMmr2r=−12GMmr=−12Ep
onde Ep é a energial potencial.
Quando o Sol se contrair, metade da energia será convertida em energia cinética e a outra metade será liberada como radiação. Assim, o tempo que irradiará será:
t=12EpL⊙=GM2⊙2R⊙L⊙
Substituindo os valores, encontramos:
t=1,57⋅106anos
Intermediário
Satélite de Vivi
a) Esquematizando a projeção do plano da órbita na Terra:
percebe-se que a anomalia verdadeira é θ=90+x
Pela fórmula das quatro partes:
cosi⋅cosΔλ=sinΔλ⋅cotx−sini⋅cot90
cosi⋅cosΔλ=sinΔλ⋅cotx⇒tanx=tanΔλ cosi
Substituindo os valores, encontramos x=47,22∘, portanto
θ=90+47,22=137,22∘
b) Utilizando conservação do momento angular, podemos calcular o ângulo entre o vetor posição e o vetor velocidade:
→L=m→v→r
v0r0sinα0=vp⋅rp
√GM(2H+R⊕−1a)(H+R⊕)sinα0=√GM(1+e)a(1−e)a(1−e)=√a(1−e2)
sinα0=√a(1−e2)(2H+R⊕−1a)1H+R⊕
Para encontrar a exentricidade:
r=H+R⊕=a(1−e2)1+ecosθ
H+R⊕+e(H+R⊕)cosθ−a+ae2=0
Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos e=0,700 ou 0,069, mas e<0,1, logo e=0,069.
Substituindo os valores, temos α0=87,16∘.
Como Vivi jogou a pedra para cima, o impulso é radial, assim a nova velocidade é:
vf2=vt,02+(vr,0+Δv)2=v02sinα02+(v0cosα0+Δv)2
Como a velocidade tangencial não muda:
vfsinαf=v0sinα0
√sinα02+(cosα0+Δvv0)2sinαf=sinα0
⇒αf=85,65∘
Logo, a variação foi
Δα=|αf−α0|
Δα=1,5∘
Avançado
Uma Fer muito veloz
Devido a velocidade, a estrela sofre contração de comprimento no sentido do movimento:
r′=rγ=r√1−v2c2
r′r=0,714
onde r é o raio próprio da estrela.
O volume do elipsóide é
V′=43πr2r′=43πr2⋅0,714r
Portanto, a razão entre as densidades aparente e real é:
p′p=MV′MV=VV′
p′p=43πr343π⋅0,714r3=10,714=1,4
b) Sendo C o tamanho da nave, C′ o tamanho medido e u a velocidade da outra nave:
C′C=14=1γ=√1−u2c2
u=0,968c
Sendo u′ a velocidade da nave no referencial estacionário, por adição de velocidades:
u=u′+v1+u′vc2
u′=u−v1−uvc2=0,83c