Soluções Astronomia - Semana 93

Iniciante

Observando o satélite

a) Para determinar o diâmetro angular, vamos utilizar o seguinte esquema:

Observando o triângulo retângulo, podemos ver que:

$$\sin \frac{\theta}{2} = \frac {R}{a - R_M}$$

Substituindo os valores numéricos:

$$\theta \approx 13'$$

b) Para determinar o intervalo de latitudes vamos analisar o caso limite em que Phobos está no horizonte do observador e sobre o meridiano local.

Utilizando a lei dos senos:

$$\frac{\sin 90^\circ}{a} = \frac{\sin(90^\circ - |\phi_{max}|)}{R_M}$$

Resolvendo:

$$|\phi_{max}| \approx 69^\circ$$

Ou seja, poderemos observar Phobos no intervalo de latitudes marcianas $-69^\circ \leq \phi \leq 69^\circ$.

Intermediário

Colapsando o satélite

a) Para encontrar a expressão do Limite de Roche, precisamos analisar a variação de força gravitacional entre dois pontos diferentes no satélite. Vamos utilizar o caso em que o diferencial de força é máximo, analisando uma massa de prova no centro do satélite e outra na superfície.

Equacionando, encontramos:

$$\Delta F = F - (F' - f )$$

$$\Delta F = \frac{GM\mu}{d^2} - \frac{GM\mu}{(d-R)^2}+\frac{Gm\mu}{R^2}$$

O Limite de Roche é o caso limite da expressão acima, em que $\Delta F = 0$, assim:

$$\frac{GM\mu}{d^2} - \frac{GM\mu}{(d-R)^2}+\frac{Gm\mu}{R^2} = 0$$

$$\frac{GM\mu}{(d-R)^2} - \frac{GM\mu}{d^2} = \frac{Gm\mu}{R^2}$$

Utilizando a aproximação $(1+x)^n \approx 1+nx$ para $x << 1$:

$$\frac{GM\mu}{d^2} \left(1+\frac{2R}{d}\right) - \frac{GM\mu}{d^2} = \frac{Gm\mu}{R^2}$$

Desenvolvendo:

$$\frac{2GM\mu}{d^3}R = \frac{Gm\mu}{R^2}$$

$$\frac{2M}{d^3} = \frac{m}{R^3}$$

$$\Rightarrow d = \sqrt[3]{\frac{2M}{m}} R$$

Em que $d$ é a distância do Limite de Roche. Substituindo os valores numéricos:

$$d \approx 5500 \;\rm{km}$$

b) Tomando uma massa de prova $\mu$ na superfície de Marte que é elevada a uma altura $h$ devido à força de maré de Phobos, podemos dizer que sua energia potencial gravitacional é:

$$E = \mu g_M h$$

Para manter o equilíbrio, vamos igualar essa expressão ao trabalho realizado pela força de maré:

$$\mu g_M h = \mu a_g R_M$$

Sendo $a_g$ a aceleração gravitacional causada pela força de maré de Phobos em Marte e $R_M$ o raio de Marte.

Sendo os termos das acelerações gravitacionais:

$$g_M = \frac{GM_M}{R_M^2}$$

$$a_g = \frac{2GM_PR_M}{a^3}$$

Substituindo na expressão inicial:

$$h = \frac{a_g}{g_M}R_M$$

$$h = \frac{\frac{2GM_P R_M}{a^3}}{\frac{GM_M}{R_M^2}}R_M$$

$$h = \frac{2M_P}{M_M} \frac{R_M^4}{a^3}$$

Substituindo os valores numéricos:

$$h \approx 6 \;\rm{mm}$$

Avançado

Anéis de Marte

Para a determinação do período dos anéis formados vamos nos basear na conservação do momento angular, já que não houve dissipação de energia no processo de colapso de Phobos.

Utilizando a relação entre o momento de inércia e a velocidade angular temos que:

$$\omega = \frac{L}{I}$$

$$\frac{2\pi}{T} = \frac{L}{I}$$

$$\Rightarrow T = 2\pi \frac{I}{L}$$

Sendo o momento angular da órbita de Phobos, aproximando a órbita para circular temos que:

$$L = mvr$$

Como $v = \sqrt{\frac{GM_M}{r}}$

$$L = m\sqrt{GM_Mr}$$

Agora vamos calcular o momento de inércia da nuvem em cada uma das distribuições de massa.

a) Para um anel temos:

$$I = \int r^2 \; dm$$

Analisando a distribuiçã de massa do anel, temos:

$$\frac{dm}{m} = \frac{d\theta}{2\pi}$$

$$dm = m \frac{d\theta}{2\pi}$$

Assim:

$$I = d^2 \int_0^{2\pi} \frac{m}{2\pi} d\theta$$

$$\Rightarrow I_{Anel} = md^2$$

Substituindo na expressão inicial:

$$T = 2\pi \frac{md^2}{m\sqrt{GM_Mr}}$$

$$T = 2\pi \frac{d^2}{\sqrt{GM_Mr}}$$

Onde $d$ é a distância entre o centro de Marte e o anel, $M_M$ a massa de Marte e $r$ o raio orbital de Phobos antes do colapso.

b) Para um disco temos:

$$I = \int r^2 \; dm$$

Analisando a distribuiçã de massa do anel, temos:

$$\frac{dm}{m} = \frac{dA}{\pi R^2}$$

Como $dA = 2\pi r dr$:

$$\frac{dm}{m} = \frac{2\pi r dr}{\pi R^2}$$

$$dm = m \frac{2 r dr}{R^2}$$

Então:

$$I_{Disco} = \frac{2m}{R^2} \int_0^R r^3 \;dr$$

$$\Rightarrow I = \frac{mR^2}{2}$$

Substituindo na expressão inicial:

$$T = 2\pi \frac{mR^2}{2m\sqrt{GM_Mr}}$$

$$T = \pi \frac{R^2}{\sqrt{GM_Mr}}$$

Onde $R$ é o raio do disco formado, $M_M$ a massa de Marte e $r$ o raio orbital de Phobos antes do colapso.

c) Para um toróide temos:

$$I = \int \rho R^2 dxdydz$$

utilizando coordenadas cilíndricas, $x = R \cos \theta$, $y = R \sin \theta$ e $z=z$:

$$dxdydz = R \; dzdrd\theta$$

Então:

$$I = \int \rho R^3dzdrd\theta = 2\pi \rho \int R^3dzdr$$

$$I = 2\pi \rho \int x^3dzdx$$

Realizando uma substituição de variável para deslocar o eixo de rotação:

$$x' = x - r$$

$$dx' = dx$$

Temos que:

$$I = 2\pi \rho \int_{-R}^R \int_{-\sqrt{R^2-x'^2}}^{\sqrt{R^2-x'^2}} (x' + r)^3 \; dzdx'$$

$$I = 4\pi \rho \int_{-R}^R (x+r)^3\sqrt{R^2-x^2}dx$$

Resolvendo a integral:

$$I = 2 \pi^2\rho r R^2 \left(\frac{3}{4}R^2 + r^2\right)$$

Como $m = 2 \pi^2\rho r R^2$:

$$\Rightarrow I_{Toroide} =m \left(\frac{3}{4}R^2 + r^2\right)$$

Substituindo na expressão inicial:

$$T = 2\pi \frac{m \left(\frac{3}{4}R^2 + d^2\right)}{m\sqrt{GM_Mr}}$$

$$T = 2\pi \frac{\left(\frac{3}{4}R^2 + d^2\right)}{\sqrt{GM_Mr}}$$

Onde $d$ é a distância entre o centro de Marte e o centro do toróide, $R$ é o raio da seção transversal do toróide, $M_M$ a massa de Marte e $r$ o raio orbital de Phobos antes do colapso.