Soluções Astronomia - Semana 95

Escrito por Lucas Cavalcante

Iniciante

Eu consigo ver Vega?

Quando se despreza os efeitos da atmosfera o tempo que a estrela permanece visível é igual ao tempo que ela permanece acima do horizonte, que pode ser calculado encontrandi o ângulo horário do ocaso pela expressão:

$$\cos H = - \tan \delta_v \tan \phi$$

$$\boxed{H = 6,6\; h}$$

E, pela simetria do movimento do astro no céu, o tempo que ele permanece acima do horizonte é:

$$\Delta t_1 = 2H$$

$$\boxed{\Delta t_1 = 13,2\; h}$$

 b) Agora, considerando que enquanto o Sol está acima do horizonte é impossível onservar a estrela, deve-se igualar o tempo sideral local considerando a ascensão reta e o ângulo horário do Sol com o da estrela:

$$H_{\odot} + \alpha_{\odot} = H_v + \alpha_v$$

$$H_{\odot} = H_v + \alpha_v$$

Como o astrônomo está durante o equinócio de Março, os ângulos horários que o Sol não está acima do horizonte são:

$$H_{\odot} > 6\; h$$

$$H_{\odot} < -6 \; h$$

Substituindo o valor de $H_{\odot}$ com o encontrado anteriormente, temos:

$$H_v > 11,4\; h$$

$$H_v < -0,6\; h$$

Por fim, comparando o intervalo encontrado com o intervalo de ângulo horário acima do horizonte que Vega possui encontramos que o tempo que essa estrela fica vísivel é:

$$-6,6\; h < H < 6,6\; h$$

$$11,4\; h < H_v < -0,6\; h$$

$$\Delta t_2 = -0,6\; h - 6,6\; h$$

$$\boxed{\Delta t_2 = 6\; h}$$

 

Intermediário

Estudo espectroscópico

a) Pelo gráfico, tem-se que o comprimento de emissão do $H_{\alpha}$ é 8100 Å. Então, pelo redshift relativístico temos:

$$z = \sqrt{\dfrac{c + v}{c - v}} - 1$$

$$(c - v)(z + 1)^2 = c + v$$

$$v = \dfrac{(z + 1)^2 - 1}{(z + 1)^2 + 1}c$$

$$\boxed{v = 58,8 \cdot 10^{6}\; m/s}$$

Para encontrar a distância até a galáxia, pode-se utilizar a lei de Hubble, obtendo:

$$v = H_0 d$$

$$d = \dfrac{v}{H_0}$$

$$\boxed{d \approx 870 \; Mpc}$$

Por fim, com a distância e a magnitude aparente da galáxia, deve-se utilizar o módulo da distância para encontrar a magnitude absoluta, dessa forma:

$$m - M = 5\log d - 5$$

$$M = m - 5\log d + 5$$

$$\boxed{M = -19,7 \; mag}$$

b) Agora, comparando a magnitude absoluta da galáxia com a do Sol temos:

$$M - M_{\odot} = -2,5\log\left(\dfrac{L_g}{L_{\odot}}\right)$$

$$L_g = L_{\odot}\cdot 10^{\dfrac{M - M_{\odot}}{-2,5}}$$

$$\boxed{L_g = 2,42\cdot 10^{36}\; W}$$

 

Avançado

Explosão de asteroide

Para descobrir a quantidade de poeira que atinge o planeta precisamos encontrar qual o ponto mais distante do eixo radial que possui uma órbita que atinge a superfície da Terra, como representado na imagem:

A distância $b$ é o parâmetro de impacto da órbita que atinge o ponto tangente à superfície do planeta que está oposto à nuvem. Para encontrar seu valor, pode-se conservar o momento angular e a energia dessa óbita hiperbólica, utilizando o ponto no infinito que possui veloicidade $v_0$ e o ponto tangente à superfície, obtendo as expressões:

$$mv_0b = mv_tR_{\oplus} \Rightarrow v = \dfrac{v_0b}{R_{\oplus}}$$

$$\dfrac{mv_0^2}{2} = -\dfrac{GM_{\oplus}m}{R_{\oplus}} + \dfrac{mv^2}{2}$$

$$v_0^2 + \dfrac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}} = v^2$$

$$b^2 = R_{\oplus}^2 + \dfrac{2GM_{\oplus}R_{\oplus}}{v_0^2}$$

Então, como esse é o ponto mais distante que atinge o planeta e a atuação da gravidade possui simetria esférica, toda a poeira que atingirá a Terra está dentro da área de um círculo de raio $b$. Além disso, como todo o fluxo que passa por uma área no infinito é o mesmo que atinge o planeta por segundo, pela conservação da massa, a massa que atingirá a superfície da Terra por segundo é:

$$\Phi = \pi b^2\rho v_0$$

$$\Phi = \pi \rho v_0 \left(R_{\oplus}^2 + \dfrac{2GM_{\oplus}R_{\oplus}}{v_0^2}\right)$$

$$\boxed{\Phi = 1,29\cdot 10^{20} \; kg/s}$$