Soluções Semana 51

INICIANTE

Primeiro, devemos mostrar que a fórmula do momento angular de um sistema binário é:

$L=\mu \omega r^2$

Onde:

$\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ ,

Uma grandeza conhecida como massa reduzida. (Confira a ideia)

Para isso, façamos:

$L=L_1 + L_2$

$L=m_1 \omega r^2_1+ m_2 \omega r^2_2$

Pela definição de centro de massa, temos:

$r_1=\frac{\mu}{m_1} r$ e $r_2=\frac{\mu}{m_2} r$

Substituindo e realizando as operações algébricas:

$L=\mu \omega r^2$

Agora, tomemos o sistema equivalente ao de dois corpos, no qual a massa reduzida orbita a soma das massas.

Nesse sistema, expressemos a área diferencial $dA$ em função de $d \theta$ e de $r$ . Você também pode pensar como um $\Delta A$ em função de um $\Delta \theta$ , ambos bem pequenininhos.

Assim temos, pela definição de setor circular:

$dA=\frac{1}{2} r^2 d \theta$

Ou, se você preferir, temos:

$\Delta A=\frac{1}{2} r^2 \Delta \theta$

Diferenciando em relação ao tempo:

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2} r^2 \frac{d \theta}{dt}$

Ou se você preferir, dividindo por um $\Delta t$ bem pequenininho:

$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{1}{2} r^2 \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

Assim:

$\frac{dA}{dt}=\frac{1}{2} r^2 \omega$

O que nada mais é do que:

$\frac{dA}{dt}=\frac{L}{2 \mu}$

$\frac{\Delta A}{\Delta t}=\frac{L}{2 \mu}$

Agora, integrando de $0$ a $\pi a b$ e de $0$ a $P$ em relação a $dt$ de ambos os lados, temos:

$\pi a b=\frac{L}{2 \mu} P$

Você também pode chegar na equação acima somando todos os $\Delta A$ e todos os $\Delta t$ e colocar $\frac{L}{2 \mu}$ em evidência, chegando assim, na área da elipse e no período orbital.

Assim, temos a Segunda Lei de Kepler para um sistema binário qualquer.

A partir dela, temos:

$4\pi^2 a^2 b^2 =\frac{L^2}{\mu^2} P^2$

Que se simplifica para:

$P^2=\frac{4\pi^2 a^2 b^2 \mu^2}{L^2}$

$P^2=\frac{4\pi^2 a^2 b^2 \mu^2}{\mu^2 {\mid(\vec{v} \times \vec{r})\mid}^2}$

Calculemos o produto vetorial de $\vec{v}$ e $\vec{r}$ no periélio, onde $\theta=90^{\circ}$ .

Temos, por energia e momento angular, que $v_p^2 =\frac{GM}{a}\frac{1+e}{1-e}$ e temos, por geometria, que $r_p=a(1-e)$ , além de que $b^2=a^2 (1-e^2)$ .

Sendo assim, temos, finalmente, após as devidas substituições:

$P^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3$

Onde $M=m_1+m_2$

INTERMEDIÁRIO

Usando trigonometria e a definição de parsec, temos que o semi-eixo maior $a=12.5 UA$ . Pela terceira lei de Kepler, temos que a soma das massas é $m_1+m_2=3.125 M_\odot$ . Pelo efeito doppler e referencial de centro de massa, temos que $m_2/m_1=2.75$ . Resolvendo o sistema, temos:

$m_2=2.292$

$m_1=0.833$

AVANÇADO

Primeiro, devemos encontrar as coordenadas do Sol no sistema horizontal. No entanto, para isso, devemos encontrá-las no sistema horário e então convertê-las.

Encontremos, por proporção, a longitude eclíptica do Sol na data:

$l=90^{\circ} +\frac{8-21}{365.25} 360$

$l=77.2^{\circ}$

Assim, encontremos a declinação utilizando o triângulo a seguir:

Créditos: BOCZKO, Roberto - Conceitos de Astronomia.

A declinação será, pela lei dos senos:

$\frac{sen\delta}{sen\epsilon}=\frac{sen l}{sen 90^{\circ}}$

$\delta=22.8^{\circ}$

Encontremos agora o ângulo horário do Sol no instante dado:

Nesta resolução, ignoraremos a equação do tempo, visto que seu valor não foi fornecido no problema:

Assim, sabendo que o meridiano local está 6.5 graus a oeste do meridiano da hora, sabemos que em Tabriz, a hora é 26 minutos a menos que no meridiano da hora. Assim, são $10$ $h$ $34$ $min$ da manhã. Portanto, o ângulo horário do Sol será de $H=1$ $h$ $26$ $min=21.5^{\circ}$

Desenhando o triângulo:

Usando lei dos cossenos, temos que:

$h=66.2^{\circ}$

E que:

$A=56.7^{\circ}$

Munidos das coordenadas horizontais do Sol e das duas leis da reflexão, podemos montar triângulos para encontrar as coordenadas do ponto para onde o reflexo aponta.