Soluções Semana 96

Escrito por Felipe Maia

Iniciante

Relações orbitais em sistemas binários

a) Num sistema de binárias as duas estrelas possuem a mesma velocidade angular $\omega$ em torno do centro de massa. Do equilíbrio de forças, temos:

$$F_C = F_G \\ \frac{GM_IM_S}{a_I+a_S} = M_I \omega ^2 a_I = M_S \omega ^2 a_S$$

Isolando $a_I$ e $a_S$:

$$a_I = \frac{GM_S}{(a_I+a_S)^2 \omega ^2} \\ a_S = \frac{GM_I}{(a_I+a_S)^2 \omega ^2}$$

Somando as duas equações chegamos em uma expressão para $a_I + a_S$

$$a_I + a_S = \frac{G(M_I+M_S)}{(a_I+a_S)^2 \omega ^2}$$

Podemos substituir $\omega$ por $\frac{2\pi}{T}$. Com isso e isolando $T^2$, chegamos na relação pedida:

$$\boxed{ T^2 = \frac{4 \pi ^2 (a_I + a_S)^3}{G(M_I + M_S)}}$$

b) Da teoria do centro de massa: $M_Ia_I = M_Sa_S$ isso nos leva a:

$$a_I = 2,7 UA \\ 24M_{\odot} = M_S$$

Ao utilizarmos as unidades de anos para tempo e UA para distância, a constante gravitacional $G$ assume valor numérico igual a $4\pi^2$, utiliznado isso e substituindo na fórmula, temos:

$$T^2 = \frac{(0,027 + 0,0045)^3}{24} \\ T = 1,14 \ anos$$

$$\therefore \boxed{T = 416 \ dias}$$

 

c) Para determinarmos a velocidade, temos que:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi a_I}{v_I}$$

Resolvendo para $v_I$, chegamos em:

$$\boxed{v_I = 70,7 \ km/s}$$

 

d) A curva de luz registra a variação na intensidade da luz emitida pelo sistema ao longo do tempo. Quando duas estrelas orbitam uma à outra, podem ocorrer eclipses, que causam quedas periódicas no brilho observado.

Para determinar as massas das estrelas, os astrônomos medem o período orbital, que é o tempo que as estrelas levam para completar uma órbita, e a velocidade radial, que é a velocidade com que cada estrela se move em relação ao observador, medida pelo efeito Doppler. Com essas informações e aplicando a terceira lei de Kepler, é possível calcular as massas das estrelas.

Os tamanhos relativos das estrelas podem ser estimados analisando a profundidade e a duração dos eclipses na curva de luz. A profundidade dos eclipses indica quanta luz é bloqueada, o que ajuda a inferir o tamanho relativo das estrelas. A duração dos eclipses fornece informações adicionais sobre os tamanhos das estrelas e a dimensão da órbita.

Intermediário

Estrela V3-RdE

O primeiro passo para resolver essa questão é converter todas as cordenadas para o mesmo sistema. Para converter as cordenadas eclípiticas para equatoriais, vamos usar o seguinte triângulo esférico:

Aplicando primeiramente uma lei dos cossenos:

$$cos (90 - \delta ) = cos \varepsilon \cdot cos (90 - \beta) + sin\varepsilon \cdot sin(90 - \beta) \cdot cos (90 - \lambda)$$

O que nos resulta em $\delta = 7^{\circ} 11'37,58''$. Agora basta aplicar uma lei dos senos:

$$\frac{sin(90 - \lambda)}{sin(90 - \delta)} = \frac{sin(90 + \alpha)}{sin(90 - \beta)}$$

$$sin(90+ \alpha) = \frac{sin(90 - \lambda)}{sin(90 - \delta)} sin(90 - \beta)$$

$$\alpha = 36^m 44,43^s$$

Agora, com as cordenadas no mesmo sistema, podemos montar o triângulo de posição que nos mostra o paralaxe da estrela:

Basta aplicar uma lei dos cossenos para acharmos a paralaxe da estrela:

$$cos \pi = sin\delta_0 sin \delta_f + cos\delta_0 cos \delta_f cos \Delta \alpha$$

$$\pi = 22,13''$$

Com a paralaxe em mãos, basta utilizar que:

$$d_{[pc]} = \frac{1}{\pi_{['']}} \\ \therefore \boxed{d = 0,045 \ pc}$$

A estrela V3 - RdE está realmente bem perto de nós.

Avançado

Universo Rosquinha

a)  Usando a dica dada no enunciado, é fácil perceber que o volume do Universo Rosquinha é o mesmo volume de um cilíndro de raio $r$ e altura $2 \pi R$, portanto

$$V = 2\pi^2 R r^2$$

b) Da Lei de Gauss, temos que:

$$\oint_{\vec{S}} \vec{g} . \ d\vec{S} = -4 \pi G M_{in}$$

$$g(t) A(t) = 4 \pi G M \\ g(t) = \frac{4\pi G M}{A(t)}$$

Como dito no enunciado, a área do Universo Rosquinha, pode ser aproximada para um cilíndro de altura $2r$ e raio $R + r$, portanto $A(t) = 4\pi r(t)(R(t) + r(t))$.

$$\therefore g(t) = \frac{4\pi G M}{4\pi r(t)(R(t) + r(t))} = \frac{G M}{a(t)^2r_0(R_0 + r_0)}$$

Como $R_0 >> r_0$, temos que:

$$\boxed{ g = \frac{G M}{a(t)^2r_0R_0}}$$

Para achar a energia potenical associada a particula, vamos definir $\beta = r_0/R_0$, logo $g = \frac{G M}{\beta a(t)^2R_0^2}$. A energia potencial é dada por:

$$U(t) = \mu \int g\ dr = \mu \frac{G M}{\beta R_0^2} \int \frac{dr}{a(t)^2}$$

Podemos definir $dr = R_0 da$

$$\therefore U(t) = \mu \frac{G M}{\beta R_0} \int \frac{da}{a(t)^2} = -\mu \frac{G M}{\beta R_0 a(t)}$$

Substituindo $M = \rho (t) V(t) = 2\pi^2 \rho (t) r(t)^2 R(t) = 2 \pi ^2 \beta^2 R_0^3 a(t)^3 \rho (t)$:

$$\boxed{U(t) = -2 \mu \pi^2 G \beta^2 R_0^2 \rho (t) a(t)^2 }$$

c) A energia mecânica, associada a partícula, tem forma de:

$$E = \frac{1}{2}\mu (\dot{R} + \dot {r})^2 -2 \mu \pi^2 G \beta^2 R_0^2 \rho (t) a(t)^2$$

$$E = \frac{1}{2} \mu (R_0 + r_0)^2 \dot{a}(t)^2 -2 \mu \pi^2 G \beta^2 R_0^2 \rho (t) a(t)^2 \approx \frac{1}{2} \mu R_0^2 \dot{a}(t)^2 -2 \mu \pi^2 G \beta^2 R_0^2 \rho (t) a(t)^2$$

Dividindo ambos os lados por $\frac{\mu R_0^2 a(t)^2}{2}$ temos:

$$\frac{2E}{\mu R_0^2 a(t)^2} = H(t)^2 - 4 \pi^2 G \beta^2 \rho (t)$$

Reorganiznado:

$$H(t)^2 = 4 \pi^2 G \beta^2 \rho (t) + \frac{2E}{\mu R_0^2 a(t)^2}$$

Portanto:

$$\boxed{C_1 = 4 \pi^2 G \frac{r_0^2}{R_0^2} \ \ \ \ \ C_2 = \frac{2E}{\mu R_0^2 }}$$

d)  Da Primeira lei da termodinânica:

$$dQ = dU + dW = d( \varepsilon V) + PdV$$

Onde $\varepsilon$ é a densidade de energia. A pressão pode ser escrita como $P = \omega \varepsilon$, como $\omega$ sendo uma constante adimensional que depende das propriedades da máteria/energia (para a resolução dessa questão o valor de $\omega$ é indiferente, tendo em vista que o exercício pede que a resposta fique em função do mesmo). Aplicando a regra do produto na equação a cima, temos:

$$Vd\varepsilon + \varepsilon dV + \omega \varepsilon dV = 0$$

Uma vez que não há uma energia adicional sendo colocada no nosso Universo Rosquinha ($dQ = 0$).

Como o Universo Rosquinha expande em 3 dimensões, $V(t) = V_0 a(t)^3$, temos que $a^3d\varepsilon + 3a^2\varepsilon (1+\omega) da = 0$. Reorganizando:

$$d\varepsilon + 3\varepsilon (1+\omega)\frac{da}{a} = 0$$

Por fim, derivando em relação ao tempo, temos que:

$$\boxed{\dot{\varepsilon} + 3\varepsilon (1+\omega)\frac{\dot{a}}{a} = 0}$$

e) Temos que a primeira equação de Friedmann é dada da forma:

$$\left(\frac{\dot{a}(t)}{a(t)}\right)^2 = C_1 \frac{\varepsilon (t)}{c^2} + \frac{C_2}{a(t)^2}$$

Multiplicando ambos os lados por $a(t)^2$, temos:

$$\dot{a}(t)^2 = \frac{C_1}{c^2} a(t)^2\varepsilon (t)+ C_2$$

Derivando em relação ao tempo, temos do lado esquerdo:

$$\frac{d}{dt} \dot{a}(t)^2 = \frac{d\dot{a}}{dt} \frac{d\dot{a}^2}{d\dot{a}} = 2\dot{a}\ddot{a}$$

E do lado direito:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{C_1}{c^2} \varepsilon(t) a(t)^2 + C_2 \right) = \frac{C_1}{c^2}\frac{d}{dt}(\varepsilon(t) a(t)^2)$$

$$=\frac{C_1}{c^2} (a(t)^2 \dot{\varepsilon}(t) + \varepsilon(t) \frac{d}{dt} a(t)^2)$$

$$=\frac{C_1}{c^2} (a(t)^2 \dot{\varepsilon}(t) + 2\varepsilon(t)a(t)\dot{a}(t))$$

Dividindo os dois lados por $2\dot{a}a$ temos:

$$\frac{\ddot{a}}{a} = \frac{C_1}{2c^2} \left(\varepsilon (t) + \frac{\dot{\varepsilon}(t)}{H(t)}\right)$$

Substituindo $\dot{\varepsilon}$ encontrado na equação dos flúidos, temos:

$$\frac{\ddot{a}}{a} = \frac{C_1}{2c^2}\left(\varepsilon (t) - \frac{3\varepsilon (t) (1+\omega)\frac{\dot{a}}{a}}{H(t)}\right)$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = \frac{C_1}{2c^2}\varepsilon(t)\left(-2 -3\omega)\right)$$

Por fim:

$$\boxed{-\frac{\ddot{a}}{a} = \frac{2\pi^2 G r_0^2}{c^2R_0^2}\varepsilon(t)\left(2 +3\omega\right)}$$