Soluções Astronomia - Semana 42

INICIANTE

a) O ângulo de paralaxe é, aproximadamente, dado pela razão entre a distância do centro do espelho até o centro da buscadora e a distância até o objeto.

$\theta = \frac{(0.150/2+0.025)m}{100m}=0.001rad=0.06^{\circ}$

b) Quando apontamos o objeto pela buscadora, o ângulo com o qual ele aparecerá fora do centro na ocular é o ângulo de paralaxe. Portanto, o raio do campo de visão real (CVR) tem que ser maior que o ângulo de paralaxe.

$CVR=\frac{CVA}{Aumento}$

$Aumento=\frac{F}{f}=\frac{150*5}{10}=75x$

$CVR=\frac{40^{\circ}}{75}=0.53^{\circ}$

Para que seja possível ver o objeto:

$\frac{0.53}{2}>0.06$

Concluímos que sim, apareceria na ocular

INTERMEDIÁRIO

a) Desenhando um triângulo esférico para coordenadas equatoriais e eclípticas, chegamos em um triângulo com quatro elementos consecutivos: inclinação da órbita ($\epsilon$), ascensão reta ($\alpha$), 90º e declinação ($\delta$)

$cos(\alpha )cos(90^{\circ})=cot(\delta )sen(\alpha ) - cot(\epsilon )sen(90^{\circ})$

$0=cot(\delta )sen(\alpha ) - cot(\epsilon )$

$tan(\delta )= tan(\epsilon )sen(\alpha )$

$\delta=17.1^{\circ}$

b) Por ser um quarto quadrado, a parede em que Luã se encontra está apontando em uma direção 45º de azimute ao sul do Sol e, por geometria, o ângulo entre essa direção e o ponto cardeal sul é o mesmo que o ângulo entre o plano leste-oeste e o plano da janela. Então, precisamos apenas encontrar o azimute do Sol.

Desenhando o triângulo esférico de coordenadas altazimutais e horárias, temos os elementos: $90^{\circ}-\delta$, $360^{\circ}-H$, $90^{\circ}-\phi$ e $A$ (medido do norte)

$cos(90^{\circ}-\phi )cos(360^{\circ}-H)=cot(90^{\circ}\delta )sen(90^{\circ}-\phi ) - cot(A )sen(360^{\circ}-H)$

$sen(\phi )cos(H)=tan(\delta )cos(\phi ) + cot(A )sen(H)$

Para o ângulo horário do Sol, sabemos que são 7h (GMT+2:00)

$H-H_2=\lambda - \lambda _{30}$

$H- (7h+12h)=17^{\circ}-30^{\circ}$

$H=18h08m$

Voltando na equação anterior:

$A=79.5^{\circ}$

Para achar o ângulo entre os planos

$\theta=180^{\circ}-(A+45^{\circ})=55.5^{\circ}$

AVANÇADO

Escolhendo duas piscadas consecutivas da lâmpada em frente à Bruna como os eventos de referência, temos pelas transformadas de Lorentz:

$\Delta t ^L = \gamma (\Delta t ^B - \frac{v}{c^2} \Delta x ^B)$

$\Delta x ^L = \gamma (\Delta x ^B - v \Delta t ^B)$

Onde $^L$ e $^B$ são os referenciais da lâmpada e da Bruna, respectivamente.

Pelo enunciado, sabemos que no referencial da Bruna a diferença de espaço dos eventos é $\Delta x ^B = 0$

$\Delta t ^L = \gamma \Delta t ^B$

$\tau ^L= (1-(\frac{0.8c}{c})^2)^{-1/2} * 0.6s$

$\tau ^L = 1s$

Obs: Intuitivamente, o período no referencial da lâmpada seria menor que no referencial da pessoa. O que acontece aqui é que não estamos medindo o período acompanhando o movimento das luzes, mas, sim, medindo em uma posição fixa.

Imagine-se observando as luzes passando na sua frente. Pela quebra da simultaneidade, as lâmpadas que estão à frente no sentido do movimento piscam antes, então, ao observar um mesmo ponto, você vê uma lâmpada acender e sair da posição, sendo substituída por uma outra apagada, que acende pouco tempo depois.

Este efeito é chamado contração de tempo (só não mais ignorado que o efeito de dilatação de espaço) e é parecido com o efeito de contração de espaço. Enquanto que na contração de espaço medimos a diferença de espaço entre dois eventos (dois pontos) na mesma coordenada de tempo, na contração de tempo, como no exercício, medimos a diferença de tempo entre dois eventos na mesma coordenada de espaço.