Soluções - Coletânea para Intermediário #1

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1) Considere um participante $i$ que atribui valor $v_i$ ao objeto leiloado.

Seja $l_i$ o lance do participante $i$ e $L$ o lance máximo entre todos os outros participantes diferentes de $i$ .

Considere primeiro que ele pensa em fazer um lance $l_i<v_i$ . Existem três situações possíveis: $(i) \; l_i;v_i<L$ , $(ii) \; l_i<L<v_i$ , $(iii) \; L<l_i;v_i$ . No caso $(i)$ , o participante poderia subir seu lance para $v_i$ que continuaria com o mesmo payoff, já que o vencedor seria o lance $L$ . Em $(ii)$ e $(iii)$ , o participante poderia subir seu lance para $v_i$ que ele ganharia e pagaria $L$ do mesmo jeito. Caso pense em fazer um lance $l_i>v_i$ , existem outras três situações: $(i) \; L>l_i;v_i$ , $(ii) \; l_i>L>v_i$ , $(iii) \; l_i;v_i>L$ .

Em $(i)$ , o participante não ganharia de qualquer forma. Em $(iii)$ , o participante poderia abaixar seu lance para $v_i$ que continuaria ganhando e pagando o mesmo valor. E, em $(ii)$ , o participante ganharia, porém pagaria $L>v_i$ e teria payoff negativo, já que $v_i-L<0$ ; neste caso, seria preferível fazer um lance de $v_i$ , pois seu payoff seria $0$ . Para qualquer situação, portanto, o participante teria payoff igual ou maior ajustando seu lance para $v_i$ .

2) O primeiro passo para solucionar esse problema é encontrar o preço e quantidade de equilíbrio desse mercado competitivo para o produto em questão. Para fazer isso, igualamos a quantidade de demanda e a quantidade de oferta para encontrarmos o preço de equilíbrio do mercado. Dessa forma:

$Q_d = Q_s$

$200-5P = 3P$

$P_{eq} = 25$ e $Q_{eq} = 75$

Com isso, vamos analisar a implementação da taxa de R$8,00 do governo. Seja $x$ e $y$ as variações no preço pago pelo comprador e no preço recebido pelo vendedor, respectivamente. Assim temos:

$200 - 5(P_{eq} + x) = 3(P_{eq} - y)$

$5x = 3y$

Sabemos também que:

$x + y = 8$

$\dfrac{3y}{5} + y = 8$

$y = 5$ e $x = 3$

$Q'_{eq} = 3 \cdot 20 = 60$

Com isso, temos que o preço pago pelo comprador será R$28,00 (25 + 3) e o recebido pelo vendedor será dado por R$20,00 (25-5). Observando o gráfico abaixo, podemos identificar que o peso morto gerado é representado pelo triângulo de base 8 e vértice oposto sendo o ponto de equilíbrio.

O peso morto gerado (PM) , é dado, portanto, pela área desse triângulo. Como já temos o valor da base, basta encontrar o valor da altura, que é dada pela diferença entre a quantidade de equilíbrio e a quantidade com a taxa implementada, assim:

$PM= \dfrac{8 \cdot (75 - 60)}{2}$

$\boxed{PM = 60}$

3) Os primeiros 100 reais de EUclides serão investidos por 48 meses, pois estarão lá por todo esse tempo. Já o próximo aporte estará lá por um mês a menos, o terceiro 2 meses a menos, e assim por diante, até que ele tenha apenas os R$100 que iria investir naquele mês. Temos que o total de dinheiro é dado por:

$S=100\cdot 1,1^{48}+100\cdot 1,1^{47}+...+100\cdot 1,1+100$

Como 100 é um fator em comum, podemos deixar em evidência, e escrever os termos em outra ordem. Assim, temos:

$S=100(1+1,1+1,1^2+ \cdots +1,1^{48})$

Veja que temos a soma de uma progressão geométrica com razão igual a 1,1. Sendo assim, podemos utilizar a fórmula para reescrever a soma:

$S=100\left( \frac{1,1^{49}-1}{1,1-1}\right)$

Simplificando a expressão, temos:

$\boxed{S=R$105.718,96}$

4) Em um leilão de valor comum, todos os compradores têm uma estimativa do valor real do objeto leiloado, mas ninguém sabe exatamente qual ele é. Essa incerteza os incentiva a reduzir seus lances, de modo a evitar a maldição do vencedor (i.e. de modo a evitar pagar pelo objeto mais do que ele realmente vale). Ao fornecer mais informações sobre o objeto leiloado, o vendedor reduz a incerteza sobre o valor real do objeto. Quanto mais informações os compradores têm, portanto, maior será a confiabilidade de suas estimativas, e menor a redução de seus lances.

5) O valor adicionado por cada agente durante todo o processo é dado pelo valor de venda (valor pelo qual o agente em questão vende seu produto) menos o valor de compra (valor pelo qual o agente em questão compra o produto). Então para o caso do fazendeiro, por exemplo, o valor adicionado seria de R$10,00 (valor da venda) - R$0,00 (valor da compra, visto que, teoricamente, não há custo explicitado na questão sobre a soja plantada), resultando em R$10,00 de valor adicionado pelo fazendeiro. Seguindo o mesmo raciocínio, a empresa alimentícia adiciona o valor de R$18,00. Por fim, o PIB acionado durante o processo é igual ao valor final do bem em questão, que no caso, foi o bolo comprado pelo médico de valor R$45,00. Note que caso somássemos todos os valores de venda em questão, estaríamos contando o mesmo produto repetidas vezes, estando assim todo o valor gerado associado ao bem imbutido no preço do bem final, no bolo de R$45,00.

6) Veja que pagando à vista ele pagaria R$5.000, e pagando parcelado seria R$6.000. Mas ao investir uma quantidade x de dinheiro no primeiro mês, queremos que ele tenha o suficiente para pagar exatamente a última parcela. Veja que a última parcela de 500 reais, em valor presente, é $\frac{500}{1,025^{11}}$ , a penúltima é $\frac{500}{1,025^{10}}$ , e assim por diante até a primeira parcela, que será de 500 reais. Assim, temos uma progressão geométrica com o primeiro termo igual a 500 e razão de $\frac{1}{1,025^{12}}$ . Utilizando a fórmula, temos que o valor a ser investido é de

$\displaystyle \frac{ \frac{500}{1,025^{12}-1}}{ \frac{1}{1,025-1}} = \textrm{R\$} 5.235,10$

Sendo assim, a melhor opção ainda é pagar à vista, e EUclides economizaria R$257,10 em relação à segunda melhor opção.

7) Veja as respostas de cada um dos itens abaixo.

a) Algumas medidas que podem reduzir o efeito negativo da quebra de patentes são: o fornecimento de subsídios para a farmacêutica que está desenvolvendo a vacina; um prêmio lump sum (montante fixo) para as empresas que obtiverem êxito no desenvolvimento da vacina; obrigar companhias que vão produzir vacinas de outras marcas a repassar parte da receita para a farmacêutica que desenvolveu o imunizante. Todas essas medidas (e outras, que também são válidas) reduzem o efeito negativo da quebra de patentes por criar novamente um incentivo monetário para o desenvolvimento de vacinas, que talvez não se equiparem ao lucro obtenível com o monopólio da produção, mas podem tornar o valor esperado do projeto positivo, garantindo que ele seja levado a cabo.

b) É improvável que uma medida semelhante gere o mesmo efeito. Isso acontece na indústria de tecnologia porque os aparelhos possuem alguns acessórios essenciais, como carregadores e fones de ouvido. A fabricante desses aparelhos pode patentear uma nova entrada para esses periféricos, de modo que ela só esteja presente nos seus produtos, e cobrar uma taxa de qualquer empresa que deseje produzir substitutos para os acessórios da própria marca. No caso das vacinas, porém, não há margem para que isso aconteça (as vacinas não precisam de uma seringa específica sem a qual elas não terão efeito, por exemplo). Dessa forma, a medida pode ser adotada no caso das vacinas sem gerar um efeito negativo semelhante.

8) Veja as respostas de cada um dos itens abaixo.

a) Apesar de existirem outros índices que medem a inflação no país, o IPCA (Índice Naicional de Preços ao Consumidor Amplo) é considerado o índice de inflação oficial do país.

b) Quando a taxa de inflação reduz, damos à esse fenomeno o nome de deflação.

c) Para resolver esta questão, vamos analisar a situação indivídual de cada um dos indíviduos. Seja Bill um banqueiro (representando os bancos, que por sua vez são os credores) e Carlos um consumidor a fazer um empréstimo no banco (Carlos por sua vez será o devedor). Imaginemos agora que, no momento que a taxa de inflação estava em 5%, Carlos fez um empréstimo no banco de Bill a uma determinada taxa nominal $x$ . Podemos, com o propósito de desenvolver a lógica para a solução do problema, aproximar a expressão que dá a taxa real como $x = r + inf$ (sendo x a taxa nominal, r, a taxa real e inf, a inflação). Suponhamos agora, que Carlos como devedor irá quitar sua divída quando a inflação está em -3%, mas pagará de acordo com o estabelecido no momento do empréstimo. Dessa forma, a taxa real do banco está sendo de $x- (-3\%) = r_{recebida}$ , enquanto o que Carlos esperava era que o Banco recebesse apenas $x-(5\%)$ . Dessa forma, concluimos que, de uma maneira geral, os credores possuem aumento na riqueza, enquanto os devedores tem sua riqueza geral diminuida. Podemos pensar também em poder de compra para entender essa questão. Quando Carlos pegou o dinheiro emprestado, este comprava menos coisa do que no momento em que ele paga sua dívida, pois a inflação diminui (o que significa que o preço dos produtos diminuriam).

d) Para esse tipo de pergunta é importante deixar claro que existem mais de uma resposta que esteja correta. A deflação ocorre quando há a diminuição de produtos e serviços por um determinado período de tempo. Dessa forma, podemos citar como exemplos que podem causar a deflação o excesso de oferta de determinado produto, ou ainda, a falta de circulação da moeda na economia do país.

9) O primeiro passo é usar o modelo de CAPM para encontrar o retorno esperado de cada ação. A fórmula do CAPM é:

$r_i=r_f+\beta_i(r_M-r_f)$

para um ativo $i$ qualquer. Vamos utilizá-la para cada ação:

Ação A

$r_A=r_f+\beta_A(r_M-r_f)$

$r_A=0.03+1.3(0.15-0.03)$

$r_A=18.60\%$

Ação B

$r_B=r_f+\beta_B(r_M-r_f)$

$r_B=0.03+0.08(0.15-0.03)$

$r_B=3.96\%$

Com os retornos esperados individuais em mãos, podemos calcular o do portfólio multiplicando o retorno de cada ação por seu respectivo peso:

$r_p=X_ar_A+X_Br_B$

$r_p=0.4\cdot0.186+0.6\cdot0.0396$

$\boxed{r_p=9.816\%}$

10) Antes de tudo, devemos traçar a Restrição Orçamentária de Euclides. Sua fórmula abstrata é:

$R = P_{x}X + P_{y}Y$

Sendo $R$ a receita total disponível, $P_{x}X$ e $P_{y}Y$ os preços dos produtos X e Y multiplicado por suas respectivas quantidades compradas.

Portanto, teremos:

$200 = 25C + 15M$

Usando o método de maximização por Lagrange, podemos usar as seguintes fórmulas abstratas:

$x^{*} = \frac{\alpha}{P_{x}} \cdot R$

Utilizando-se desse formato, temos que as quantidades ideias de consumo seriam 2kg de carne e 10kg de macarrão.

11) Sabemos que a taxa de câmbio real mede a taxa que pode ser feitas trocas de bens entre países. No caso apresentado pelo problema, a taxa real de câmbio vai medir a quantidade de garrafas de vinho que devem ser trocadas por um celular. Se o país B não está desenvolvendo-se tecnológicamente em relação a prodção de vinhos, então a quantidade de garrafas de vinho produzidas se mantêm fixa. Entretanto, como o país A, apresenta avanço tecnológico para a produção de celulares, podemos afirmar que a quantidade de celulares produzidos está aumentando. Com isso em mente, podemos esperar que a taxa real de câmbio diminua visto que seria então necessária menos garrafas de vinho para trocar por um celular (uma vez que celulares estão mais abundantes que antes).

Quanto a taxa de câmbio nominal ( $e$ ) (medida em bizcoins por ablacoins), sabemos que ela é dada por:

$e = \epsilon \times \dfrac{P_{B}}{P_{A}}$

onde $\epsilon$ é a taxa de câmbio real, $P_{B}$ é o nível de preço do país B e $P_{A}$ , o nível de preço do país A. Considerando que o país B apresenta uma quantidade de dinheiro circulante que cresce rapidamente e o país apresenta uma quantidade estável, podemos esperar que $\dfrac{P_{B}}{P_{A}}$ aumente. Dessa forma o resultado para taxa de câmbio nominal é relativamente ambíguo, visto que a taxa real de câmbio diminui e o nível de preço relativo entre os dois países tendem a aumentar. Assim, apenas com as informações apresentadas pelo problema, não é possível fazer uma afirmação conclusiva quanto ao valor da taxa de cãmbio nominal.

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