Soluções - Coletânea para Avançado #1

Essas são as soluções referentes à uma de nossas coletâneas. Para acessá-la, clique aqui.

1) A volatilidade de um ativo ou portfolio será dado por seu desvio padrão. Portanto, o primeiro passo é encontrar sua variância. A variância de um portfolio com $n$ ativos é dada por:

$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_{ij}$

Podemos substituir $\sigma_{ij}$ por $\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$ para obtermos uma expressão que use apenas os dados fornecidos:

$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$

onde $\omega_i$ é o peso do ativo $i$ no portfólio, $\sigma_i$ sua volatilidade e $\rho_{ij}$ a correlação entre cada dois ativos. Agora basta substituir os dados do enunciado na expressão. Temos:

$\sigma_p^2=(0.58)^2(0.187)^2+(0.42)^2(0.313)^2+2(0.58)(0.42)(0.187)(0.313)(0.38)$

$\sigma_p^2=0.04$

Com a variância em mãos, podemos encontrar o desvio padrão e, consequentemente, a volatilidade:

$\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}$

$\sigma_p=\sqrt{0.04}$

$\boxed{\sigma_p = 20\%}$

2) Primeiramente, precisamos montar a função utilidade e a restrição. A função utilidade é dada no enunciado:

$\displaystyle U(x,y)=\sqrt{xy}$

A restrição também pode ser facilmente encontrada com os dados fornecidos:

$\displaystyle 5x+60y=480$

Isto é, o valor total gasto com chaveiros e pelúcias deve ser igual a 480. Podemos, então, montar a função lagrangeana deste problema:

$\displaystyle L=\sqrt{xy}-\lambda(5x+60y-480)$

O próximo passo é igualar as derivadas parciais de primeira ordem a 0:

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}-5\lambda=0$

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}-60\lambda=0$

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(5x+60y-480)=0$

Das equações (1) e (2), temos que:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{120\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{10\sqrt{x}}$

$\displaystyle x=12y$

Substituindo na equação (3):

$\displaystyle 5(12y)+60y=480$

$\displaystyle 120y=480$

$\displaystyle \boxed{y=4}$

E, portanto:

$\displaystyle \boxed{x=48}$

Concluímos, então, que Wilhelmo deve comprar $48$ chaveiros e $4$ pelúcias na lojinha da Econolândia.

3) Sabemos que em uma economia aberta (que é livre para realizar operações com outros países) o PIB (Y) pode ser calculado como

$Y = C + I + G + NX$

onde C representa o consumo, I, investimento, G, gastos governamentais e NX, o resultante de exportações menos importações. Para esse problema devemos identificar NCO como sendo o somatório de exportações e importações de Vilândia, então substituindo os valores que nos é dado no problema, encontramos:

$Y = C + I + G + NX$

$Y = [0,5(Y-T) - 80r] + (400 - 80r) + 400 + (300 - 80r)$

$1200 = [0,5(1200-400) - 80r] + (400 - 80r) + 400 + (300 - 80r)$

$300 =240r$

$\boxed{r = 1,25}$

Com o valor da taxa de juros do país, podemos utilizar a outra informção disponível, que diz:

$NCO = 100 + 50\epsilon$

Daí temos:

$NX = NCO = 100 + 50\epsilon = 300 - 80r$

$50 + 100 \epsilon = 300 - 80(1,25)$

$\boxed{\epsilon = 1,5}$

Encontramos assim $\epsilon$ , a taxa de câmbio de equilíbrio de Vilândia equivale à 1,5.

4) Seja $x$ a porcentagem que EUclides investiu na empresa A em seu portfólio. Como há apenas duas empresas, a porcentagem investida na empresa B será de $1-x$ . Temos que a fórmula para calcular o risco de um portfólio $\sigma_p$ de apenas 2 empresas é dado por:

$\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2 w_A w_B cov_{AB}}$

Não iremos provar a fórmula para a resolução da questão. Mas $w_i$ representa o peso da empresa $i$ no portfólio. Em nosso caso é $x$ para a empresa A e $1-x$ para a empresa B. $\sigma_i$ representa o desvio padrão dos valores da empresa $i$ , e $cov_{AB}$ representa a covariância entre as empresas. Por hora vamos escrevê-los dessa forma. Assim, temos que:

$\sigma_p = \sqrt{x^2 \sigma_A^2 + (1-x)^2\sigma_B^2 + 2 x(1-x) cov_{AB}}$

Expandindo os termos e juntando fatores iguais temos:

$\sigma_p = \sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}$

Como queremos encontrar o mínimo da função, estamos procurando um valor de $x$ onde $\dfrac{d\sigma_p}{dx} = 0$ . Assim, temos:

$\dfrac{d\sigma_p}{dx} = \dfrac{2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2)}{2\sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}} = 0$

Obs: $\dfrac{d(\sqrt{f(x)})}{dx} = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

Perceba que, apesar do denominador parecer complicado, apenas o numerador precisa ser zero para que encontremos a raíz da função. Assim:

$2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2) = 0$

$x = \dfrac{\sigma_B^2 - cov_{AB}}{\sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}}$

Ainda não temos certeza se esse é um local máximo ou mínimo, e nem temos informação sobre o valor numérico de $x$ . Portanto agora apenas nos resta calcular os valores de $\sigma_A$ , $\sigma_B$ e $cov_{AB}$ . Não iremos apresentar as fórmulas e iremos direto ao resultado dos valores com base na tabela dada, já que há ferramentas como calculadoras científicas ou excel que calculam esses valores automaticamente. Temos então que:

$\sigma_A = 0,057706152$

$\sigma_B = 0,039115214$

$cov_{AB} = -0,000555$

Deixaremos como tarefa ao leitor conferir que aquele de fato é um local mínimo. (Dica: coloque valores maiores e menores na função derivada e veja como o sinal se comporta) Sendo assim, podemos colocar os valores obtidos na expressão já encontrada e teremos que:

$\boxed{x = 0.349246231}$

Podemos então concluir que, para EUclides diminuir seu risco, ele deve investir aproximadamente 35% na empresa A e 65% na empresa B.

5) Esse problema pode não parecer difícil, mas é muito fácil de errar. Ele requer pensar no jogo também do ponto de vista do oponente, analisando o que ele fará em resposta à sua estratégia. Feito isso, ele se torna de fato simples. Vamos lá.

A Maximus Capital não deve oferecer nada pelas ações da Medius.

Seja $P$ o preço por ação oferecido pela compra da Medius, e $V$ o valor de cada ação sob a gestão atual quando o projeto for realizado. Vamos explorar duas situações: (i) $P<V$ ; (ii) $P\geq V$ .

i) Neste caso, como o preço oferecido pela compra da ação foi menor que seu valor sob a gestão atual dada a realização do projeto, a Medius rejeita a oferta. O payoff da Maximus é $0$ , dado que não ganhou nem perdeu nada.

ii) Como o preço oferecido pela compra da ação está acima do (ou igual a) seu valor sob a gestão atual dada a realização do projeto, a Medius aceita a oferta. O payoff da Maximus é $1.5V$ , pois as ações passaram a valer $50\%$ a mais sob sua gestão.

O valor esperado do payoff portanto, dado que a Medius aceita a oferta, é

$E[\pi]=1.5(E[V^*])$

Sendo $E[V^*]$ o valor esperado de $V$ dado que a oferta é aceita. Como a Medius só aceitará ofertas em que $P\geq V$ , porém, temos que:

$E[V^*]=\frac{P}{2}$

Substituindo de volta, temos um payoff esperado de

$E[\pi]=\frac{3}{2} \cdot \frac{P}{2}=\frac{3}{4}P$

Pagar $P$ para receber $\frac{3}{4}P$ é claramente um mau negócio. Caso a oferta seja aceita, porém, esse será o valor esperado do payoff da Maximus. Fica claro, portanto, que o mais vantajoso para a Maximus Capital é não oferecer nada pelas ações da Medius (a menos que a Maximus seja uma fraude com o objetivo de investir o dinheiro de terceiros em projetos extremamente arriscados—mas isso é outra história).

6) Abaixo, temos as soluções de cada um dos itens.

a) Por definição o produto marginal de trabalhadores é o quanto, nesse caso, o país (Vilândia) produz a mais com o aumento de uma unidade de trabalhadores, mantendo as outras variáveis constantes. Assim para chegarmos à expressão que representa o protudo marginal de trabalhadores devemos derivar a função de produção em relação à T (trabalhadores), mantendo as outras variáveis constantes. Dessa forma, o produto marginal de trabalhadores (chamaremos de PMT) é dado por:

$PMT = \dfrac{dY}{dT}$

$PMT = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot K^{1/3} \cdot D^{1/3} \cdot T^{-2/3}$

b) De forma análoga, encontraremos o produto marginal de diplomas (chamaremos de PMD), realizando a mesma operação, porém dessa vez, iremos derivar em relação à D.

$PMD = \dfrac{dY}{dD}$

$PMD = \dfrac{1}{3} \cdot a \cdot K^{1/3} \cdot T^{1/3} \cdot D^{-2/3}$

c) Vamos agora imaginar o cenário de uma empresa (podemos aplicar esse raciocínio para condições de macro também). A parte da produção que irá se destinar aos trabalhadores em uma concorrência pefeita é igual ao produto marginal de trablhadores vezes a quantidade de trablhadores. Para enfim encontrar que parte da produção total esse valor representa basta dividir por $Y$ , então temos:

Parcela paga aos trabalhadores $= \dfrac{PMT \cdot T}{Y}$

Parcela paga pelos trabalhadores $= \dfrac{ 1/3 \cdot a \cdot K^{1/3} \cdot D^{1/3} \cdot T^{-2/3} \cdot (T) }{ a \cdot K^{1/3} \cdot T^{1/3} \cdot D^{1/3}}$

Parcela paga pelos trabalhadores $= \dfrac{1}{3}$

De forma análoga, encontramos que a parcela paga pelos trabalhadores possuírem um diploma é de:

Parcela paga por possuir diploma $= \dfrac{1}{3}$

d) Considerando a distribuição de salário de um trablhador especializado e de um trabalhador não especializado, encontramos:

$Razao = \dfrac{PMT + PMD}{PMT}$

$Razao = 1 + \dfrac{PMD}{PMT}$

$\boxed{ Razao = 1 + \dfrac{T}{D} }$

É interessante notar que conforme $D$ aumenta, o que significa maior quantidade de diplomas, menor será a razão, logo, proporcionalmente, mais igual será o salário entre os dois grupos analisados.

7) Considere $x$ a quantidade de picolés vendidos no mês. Como o custo de produção é de 2 reais e o picolé será vendido a 2,50, ele lucrará 50 centavos por picolé, dando um retorno de $0,5x$ . Para cada 600 picolés vendidos, EUclides terá o gasto com seus funcionários também. Podemos calcular a quantidade de funcionários como $\lfloor \dfrac{x}{600} \rfloor$ , onde $\lfloor a \rfloor$ representa a função chão, que retorna o maior inteiro que não ultrapasse o valor de $a$ . Basicamente estamos pegando o quoeficiente na divisão de $x$ por 600. Após isso basta multiplicar a quantidade de funcionários pelo seu salário e teremos seu custo mensal. Se as previsões de EUclides estiverem certas, ele terá, a cada mês, 20% a mais que no mês anterior, começando com 150. Dessa forma, $x = 150 \cdot 1,2^t$ , sendo $t$ o tempo, em meses. O custo fixo de produção mensal será sempre de R$300,00

Podemos então calcular o retorno mensal $R(t)$ da seguinte maneira:

$R(t) = 0,5 \cdot 150 \cdot 1,2^t - 500 - 300 - 250 \cdot \lfloor \dfrac{150 \cdot 1,2^t}{600} \rfloor$

$R(t) = 75 \cdot 1,2^t - 800 - 250 \cdot \lfloor \dfrac{1,2^t}{4} \rfloor$

Queremos saber quantos meses levará para atingir o breakeven, ou seja, o negócio começará a dar retornos positivos e é capaz de se manter. Ao analisarmos o comportamento da função e seus primeiros meses, considerando $t$ como uma variável discreta que só assume valores inteiros, vemos que $R(21)<0$ , enquanto $R(22)>0$ . Apesar da descontinuidade, essa função tem um comportamento parecido ao de uma exponencial crescente. De fato, ao analisarmos o gráfico vemos que ela atinge o breakeven durante esse período apenas, e continua positiva. Sendo assim, após 22 meses, a barraca de picolé de EUclides será autossustentável.

8) Abaixo, temos as soluções de cada um dos itens descritos na questão.

a) $PT_L=900L^2-3L^3$

b) $\overline{P_L}=\frac{900L^2-3L^3}{L}=900L-3L^2$

c) $PM_L=\frac{d PT_L}{d L}=1800L-9L^2$

d) O aumento de trabalho passa a ser improdutivo quando o produto marginal do trabalho fica negativo. Para achar esse ponto, tiramos a derivada do produto marginal (ou a segunda derivada da função de produção) e igualamos a zero:

$\displaystyle \frac{d PM_L}{dL}=\frac{d^2PT_L}{dL^2}=1800-18L=0$

$\displaystyle 18L=1800$

$\boxed{L=100}$

O aumento de trabalho, portanto, passa a ser improdutivo para $L>100$

9) Abaixo, temos as soluções de cada um dos itens descritos na questão.

a) Para determinar a taxa de crescimento nominal do PIB do país em questão, podemos começar analisando a equação de quantidade de capital que é dada por $M \times V = P \times T$ , onde M representa a quantidade de dinheiro disponível na economia do país, V representa a velocidade com que esse dinheiro é transacionado, P representa o preço dessas transações e T a quantidade de transações feitas. No entanto, para responder a questão podemos ajustar o lado direito da equação de forma que tenhamos $M \times V = P \times Y$ , onde, agora, P representa o preço de uma unidade de PIB e Y o PIB real do país. Notamos agora que $P \times Y$ representa o PIB nominal, para achar então a taxa nominal de crescimento do PIB fazemos:

$M \times V = (P \times Y)$

$\Delta \% M + \Delta \% V = \Delta \% PIB_{nominal}$

No entanto, é dito no enunciado que é considerado que a velocidade é mantida constante ao longo do período analisado, logo $\Delta \% V = 0$ . Dessa forma,

$\Delta \% PIB_{nominal} = \Delta \% M$

$\boxed{ \Delta \% PIB_{nominal} = 7\% }$

b) Pela própria definição, sabemos que a taxa de inflação ( $\pi$ é dada pela taxa de variação nos preços, dessa forma, temos:

$\Delta \% M + \Delta \% V = \Delta \% P + \Delta \% Y$

$\Delta \% M + \Delta \% V - \Delta \% Y = \Delta \% P$

$\Delta \% P = 7\% + 0\% - 4\%$

$\boxed{ \pi = 3\%}$

c) De forma simples, podemos determinar a taxa de juros real(r) como sendo:

$r = i - \pi$

$r = 8\% - 3\%$

$\boxed{r = 5\%}$

10) Abaixo, temos as soluções de cada um dos itens descritos na questão.

a) Na estratégia tit-for-tat, os dois jogadores iniciam cooperando, e a cada rodada imitam a decisão que o outro jogador tomou na rodada anterior. Quando um jogador desejava cooperar, mas comete um erro e acaba não cooperando, o seu oponente também não vai cooperar na rodada seguinte. Exemplo com os jogadores A e B:

Rodada 1: A coopera, B coopera

Rodada 2: A coopera, B não coopera (cometeu um erro, na verdade queria cooperar)

Rodada 3: A não coopera, B coopera

Rodada 4: A coopera, B não coopera

[...]

Devido ao erro, os jogadores entram num ciclo infinito de coopera/não coopera, e nunca mais cooperam juntos—embora ambos quisessem continuar cooperando. Esse caso mostra como a estratégia tit-for-tat pode não ser tão boa em casos onde é possível cometer um erro na jogada, ou na percepção da jogada do outro jogador.

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