Escrito por Lucas Rivelli

Iniciante

No primeiro caso, é evidente que João gosta de jogar videogame e não gosta de fazer suas tarefas domésticas, na qual aceitaria fazer 20 minutos de suas tarefas se pudesse jogar videogame por uma hora. Podemos representar isso no gráfico da seguinte forma.

Note que a inclinação da curva demonstra que João está indiferente entre a quantidade de videogame que irá jogar e de tarefas domésticas que irá realizar, desde que a inclinação da curva se mantenha constante.

Já no segundo caso, ambos os bens são considerados substitutos perfeitos, já que trazem os mesmos benefícios para João.

Intermediário

Primeiramente é necessário encontrar qual será a produção de Alpha. Para isso, é necessário encontrar o lucro óptimo. A função lucro será dada por:

$\pi = Q_a \cdot P_a - C_a(Q_a)$

Utilizando os dados do enunciado, podemos encontrar o preço $P_a$ em função da quantidade $Q_a$:

$Q_a = 100 - P_a$

$P_a = 100 - Q_a$

Substituindo o preço e o custo na função do lucro:

$\pi = Q_a(100-Q_a) - 20Q_a - 3Q_a^2$

$\pi = 100Q_a - Q_a^2 - 20Q_a - 3Q_a^2$

$\pi = 80Q_a - 4Q_a^2$

Podemos encontrar a quantidade ótima $Q_a^{\ast}$ utilizando a fórmula do vértice da parábola:

$Q_a^{\ast} = \frac{-b}{2a}$

$Q_a^{\ast} = \frac{-80}{-8}$

$Q_a^{\ast} = 10$

Logo, a empresa irá produzir um total de 10 unidades, maximizando seu benefício individual.
Agora, é necessário descobrir qual é a quantidade que maximiza o benefício social. Para isso, devemos fazer o mesmo processo, substituindo o custo privado da Alpha ($Q_a$), pelo custo total ($Q_s$).

$\pi = Q_a(100-Q_s) - 10Q_s - 8Q_s^2$

$\pi = 100Q_s - Q_s^2 - 10Q_s - 8Q_s^2$

$\pi = 90Q_s - 9Q_s^2$

$Q_s^{\ast} = \frac{-b}{2a}$

$Q_s^{\ast} = \frac{-90}{-18}$

$Q_s^{\ast} = 5$

Como demonstrado, a quantidade produzida ideal é metade do que a firma A produzirá.
Note que, caso o governo queira diminuir a produção da Alpha, basta implementar impostos tal que a quantidade produzida pela firma Alpha seja equivalente a quantidade óptima.
Para tal, o imposto por unidade tem que obedecer a seguinte igualdade:

$Q_a = Q_s$

$Q_a = 5$

$\pi_a = \pi_s$

$\pi_a = 225$

Logo:

$225 = 80\cdot 5 - 4\cdot 25 - I \cdot 5$

$225 = 400 - 100 - 5I$

$225 = 300 - 5I$

$I = 15$

No qual $I$ é o imposto por unidade.
De forma similar, a aquisição de Beta por Alpha geraria a mesma produção, já que o custo de Alpha passaria a incluir o custo de Beta (ou seja, $C_a = C_s$).

 

Avançado

Para resolver essa questão, temos que descobrir qual é a Taxa Interna de Retorno de cada ação. Para isso temos que analisar cada empresa individualmente, descobrindo o potencial de cada uma.

Análise ClosedIA
Seja $1$ o lucro da ClosedIA no ano $0$ (como temos que determinar somente a razão, ele não faz diferença, desde que seja positivo). O preço pago foi de $52$x. Considerando que o lucro irá subir $32$% pelos próximos 5 anos, ele será igual a $4$ no ano $5$. Nesse mesmo ano, o preço de ação será de $23 \cdot 4 = 92$.
Seja a TIR igual a taxa que a iguala o valor futuro ao valor presente, temos que:

$\frac{92}{(1+ \text{TIR})^5} = 52$

Logo:

$TIR \approx 0.1208$

Agora só temos que fazer o mesmo processo para a ConvictionAI

Análise ConvictionAI
Seja $1$ o lucro da ConvictionAI no ano $0$. O preço pago foi de $28$x. Considerando que o lucro irá subir $21$% pelos próximos 5 anos, ele será igual a $2.59$ no ano $5$. Nesse mesmo ano, o preço de ação será de $18 \cdot 2.59 = 46.62$.
Seja a TIR igual a taxa que a iguala o valor futuro ao valor presente, temos que:

$\frac{46.22}{(1+ \text{TIR})^5} = 28$

Logo:

$TIR \approx 0.1054$

Com base nessa análise, fica evidente que a ClosedIA é um investimento mais rentável que a ConvictionAI, por isso o investidor deveria optar por ela.