Soluções Economia - Semana 1

Escrito por Vitor Camargo

Iniciante

Assumimos que o filho do presidente é um agente racional e busca maximizar o lucro de sua pizzaria. Sua função lucro será dada por:

$\pi=Q\cdot P-C(Q)$

Utilizando os dados do enunciado, podemos encontrar o preço P em função da quantidade Q:

$Q=120-2P$

$P=60-\frac{Q}{2}$

Substituindo o preço e o custo na função do lucro:

$\pi=Q(60-\frac{Q}{2})-\frac{3Q^2}{4}$

$\pi=60Q-\frac{5Q^2}{4}$

Podemos encontrar a quantidade ótima $Q^*$ utilizando a fórmula do vértice da parábola:

$Q^*=\frac{-b}{2a}$

$Q^*=\frac{-60}{2\cdot \frac{-5}{4}}$

$\boxed{Q^*=24}$

Alternativamente, se você souber derivadas (o que não é necessário para nenhuma fase da OBECON), pode encontrar $Q^*$ derivando a função lucro e igualando a zero:

$\frac{d\pi}{dQ}=60-2.5Q^*$

$60-2.5Q^*=0$

$\boxed{Q^*=24}$

Intermediário

Considere um participante $i$ que atribui valor $v_i$ ao objeto leiloado. Seja $l_i$ o lance do participante $i$ e $L$ o lance máximo entre todos os outros participantes diferentes de $i$. Considere primeiro que ele pensa em fazer um lance $l_i<v_i$. Existem três situações possíveis: $(i) \; l_i;v_i<L$, $(ii) \; l_i<L<v_i$, $(iii) \; L<l_i;v_i$. No caso $(i)$, o participante poderia subir seu lance para $v_i$ que continuaria com o mesmo payoff, já que o vencedor seria o lance $L$. Em $(ii)$ e $(iii)$, o participante poderia subir seu lance para $v_i$ que ele ganharia e pagaria $L$ do mesmo jeito. Caso pense em fazer um lance $l_i>v_i$, existem outras três situações: $(i) \; L>l_i;v_i$, $(ii) \; l_i>L>v_i$, $(iii) \; l_i;v_i>L$. Em $(i)$, o participante não ganharia de qualquer forma. Em $(iii)$, o participante poderia abaixar seu lance para $v_i$ que continuaria ganhando e pagando o mesmo valor. E, em $(ii)$, o participante ganharia, porém pagaria $L>v_i$ e teria payoff negativo, já que $v_i-L<0$; neste caso, seria preferível fazer um lance de $v_i$, pois seu payoff seria $0$. Para qualquer situação, portanto, o participante teria payoff igual ou maior ajustando seu lance para $v_i$. ■

Avançado

A volatilidade de um ativo ou portfolio será dado por seu desvio padrão. Portanto, o primeiro passo é encontrar sua variância.

A variância de um portfolio com $n$ ativos é dada por:

$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_{ij}$

Podemos substituir $\sigma_{ij}$ por $\sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$ para obtermos uma expressão que use apenas os dados fornecidos:

$\sigma_p^2=\displaystyle \sum_{i}^{n} \omega_i^2 \sigma_i^2 + \sum_{i \neq j}^{n} \omega_i \omega_j \sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$

onde $\omega_i$ é o peso do ativo $i$ no portfólio, $\sigma_i$ sua volatilidade e $\rho_{ij}$ a correlação entre cada dois ativos.

Agora basta substituir os dados do enunciado na expressão. Temos:

$\sigma_p^2=(0.58)^2(0.187)^2+(0.42)^2(0.313)^2+2(0.58)(0.42)(0.187)(0.313)(0.38)$

$\sigma_p^2=0.04$

Com a variância em mãos, podemos encontrar o desvio padrão e, consequentemente, a volatilidade:

$\sigma_p=\sqrt{\sigma_p^2}$

$\sigma_p=\sqrt{0.04}$

$\boxed{\sigma_p = 20\%}$