Soluções Economia - Semana 2

Escrito por Cauê da Costa, João Vilas e Vitor Camargo

Iniciante

Primeiramente vamos analisar os ganhos de EUclides no primeiro investimento. Ele inicia com 100 reais mas a cada ano ele ganhará 20% de 100 reais, ou seja, 20 reais. Assim, seu total será de 100 + 20t, onde t é o tempo em anos. Já no segundo investimento, ele inicia com os mesmos 100 reais mas a cada ano seu valor sobe em 115%. Assim, seu total será de 100*1,15^t. Queremos encontrar t de forma que 100+20t<100*1,15^t. Podemos dividir os dois lados da equação por 20, resultando em 5+t<5*1,15^t. Infelizmente não há como achar uma solução analítica para o valor exato de t, mas como estamos interessados apenas em valores inteiros, podemos dispor de outras maneiras para aproximar a resposta. Se colocarmos alguns valores na calculadora, percebemos logo que não são necessários valores muito grandes de t. Para t=5, o segundo investimento já tem um rendimento maior, pois 5*1,15⁵ é aproximadamente 10.05, enquanto 5+(5)=10. Colocando então t=4, vemos que o primeiro investimento ainda estaria rendendo mais, pois 5+(4)=9 enquanto 5*1,15⁴ é aproximadamente 8,74. Vale lembrar que esses valores não são o retorno dele, pois inicialmente dividimos a inequação por 20. Sendo assim, apenas a partir de 5 anos seria mais rentável investir na segunda opção.

Intermediário

O primeiro passo para solucionar esse problema é encontrar o preço e quantidade de equilíbrio desse mercado competitivo para o produto em questão. Para fazer isso, igualamos a quantidade de demanda e a quantidade de oferta para encontrarmos o preço de equilíbrio do mercado. Dessa forma:

$Q_d = Q_s$

$200-5P = 3P$

$P_{eq} = 25$ e $Q_{eq} = 75$

Com isso, vamos analisar a implementação da taxa de R$8,00 do governo. Seja $x$ e $y$ as variações no preço pago pelo comprador e no preço recebido pelo vendedor, respectivamente. Assim temos:

$200 - 5(P_{eq} + x) = 3(P_{eq} - y)$

$5x = 3y$

Sabemos também que:

$x + y = 8$

$\dfrac{3y}{5} + y = 8$

$y = 5$ e $x = 3$

$Q'_{eq} = 3 \cdot 20 = 60$

Com isso, temos que o preço pago pelo comprador será R$28,00 (25 + 3) e o recebido pelo vendedor será dado por R$20,00 (25-5). Observando o gráfico abaixo, podemos identificar que o peso morto gerado é representado pelo triângulo de base 8 e vértice oposto sendo o ponto de equilíbrio. O peso morto gerado (PM) , é dado, portanto, pela área desse triângulo. Como já temos o valor da base, basta encontrar o valor da altura, que é dada pela diferença entre a quantidade de equilíbrio e a quantidade com a taxa implementada, assim:

 

$PM= \dfrac{8 \cdot (75 - 60)}{2}$

$\boxed{PM = 60}$

 

Avançado

Primeiramente, precisamos montar a função utilidade e a restrição. A função utilidade é dada no enunciado:

$\displaystyle U(x,y)=\sqrt{xy}$

A restrição também pode ser facilmente encontrada com os dados fornecidos:

$\displaystyle 5x+60y=480$

Isto é, o valor total gasto com chaveiros e pelúcias deve ser igual a 480. Podemos, então, montar a função lagrangeana deste problema:

$\displaystyle L=\sqrt{xy}-\lambda(5x+60y-480)$

O próximo passo é igualar as derivadas parciais de primeira ordem a 0:

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}}-5\lambda=0$

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}}-60\lambda=0$

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(5x+60y-480)=0$

Das equações (1) e (2), temos que:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{120\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{10\sqrt{x}}$

$\displaystyle x=12y$

Substituindo na equação (3):

$\displaystyle 5(12y)+60y=480$

$\displaystyle 120y=480$

$\displaystyle \boxed{y=4}$

E, portanto:

$\displaystyle \boxed{x=48}$

Concluímos, então, que Wilhelmo deve comprar $48$ chaveiros e $4$ pelúcias na lojinha da Econolândia.