Soluções Economia - Semana 4

Escrito por João Vilas, Vitor Camargo e Cauê da Costa
Revisado por Nícolas Goulart

Iniciante

A taxa de desemprego (chamaremos de $T_D$ nesse problema)  é dada pela razão entre pessoas desempregadas, independente da causa, pela quantidade de pessoas que estão presentes na força de trabalho. Então temos que a taxa de desemprego pode ser calculada como:

$T_D = \dfrac{1600 + 2400 + 2000}{1600 + 2400 + 2000 + 44000}$

$T_D = \dfrac{6000}{50000}$

$\boxed{T_D = 12\%}$

Intermediário

Em um leilão de valor comum, todos os compradores têm uma estimativa do valor real do objeto leiloado, mas ninguém sabe exatamente qual ele é. Essa incerteza os incentiva a reduzir seus lances, de modo a evitar a maldição do vencedor (i.e. de modo a evitar pagar pelo objeto mais do que ele realmente vale). Ao fornecer mais informações sobre o objeto leiloado, o vendedor reduz a incerteza sobre o valor real do objeto. Quanto mais informações os compradores têm, portanto, maior será a confiabilidade de suas estimativas, e menor a redução de seus lances.

Avançado

Seja $x$ a porcentagem que EUclides investiu na empresa A em seu portfólio. Como há apenas duas empresas, a porcentagem investida na empresa B será de $1-x$. Temos que a fórmula para calcular o risco de um portfólio $\sigma_p$ de apenas 2 empresas é dado por:

$\sigma_p = \sqrt{w_A^2 \sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2 w_A w_B cov_{AB}}$

Não iremos provar a fórmula para a resolução da questão. Mas $w_i$ representa o peso da empresa $i$ no portfólio. Em nosso caso é $x$ para a empresa A e $1-x$ para a empresa B. $\sigma_i$ representa o desvio padrão dos valores da empresa $i$, e $cov_{AB}$ representa a covariância entre as empresas. Por hora vamos escrevê-los dessa forma.

Assim, temos que:

$\sigma_p = \sqrt{x^2 \sigma_A^2 + (1-x)^2\sigma_B^2 + 2 x(1-x) cov_{AB}}$

Expandindo os termos e juntando fatores iguais temos:

$\sigma_p = \sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}$

Como queremos encontrar o mínimo da função, estamos procurando um valor de $x$ onde $\dfrac{d\sigma_p}{dx} = 0$. Assim, temos:

$\dfrac{d\sigma_p}{dx} = \dfrac{2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2)}{2\sqrt{x^2 ( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) + 2x(cov_{AB} -\sigma_B^2) + \sigma_B^2}} = 0$

Obs: veja que $\dfrac{d(\sqrt{f(x)})}{dx} = \dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$

Perceba que, por estar no denominador, o termo de baixo não pode ser zero. Sendo assim, o númerador precisa ser zero para que encontremos a raíz da função. Assim:

$2x( \sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}) +2(cov_{AB} -\sigma_B^2) = 0$

$x = \dfrac{\sigma_B^2 - cov_{AB}}{\sigma_A^2 +\sigma_B^2 - 2cov_{AB}}$

Ainda não temos certeza se esse é um local máximo ou mínimo, e nem temos informação sobre o valor numérico de $x$. Portanto agora apenas nos resta calcular os valores de $\sigma_A$, $\sigma_B$ e $cov_{AB}$. Não iremos apresentar as fórmulas e iremos direto ao resultado dos valores com base na tabela dada, já que há ferramentas como calculadoras científicas ou excel que calculam esses valores automaticamente. Temos então que:

$\sigma_A = 0,057706152$

$\sigma_B = 0,039115214$

$cov_{AB} = -0,000555$

Deixaremos como tarefa ao leitor conferir que aquele de fato é um local mínimo. (Dica: coloque valores maiores e menores na função derivada e veja como o sinal se comporta)

Sendo assim, podemos colocar os valores obtidos na expressão já encontrada e teremos que:

$\boxed{x = 0.349246231}$

Podemos então concluir que, para EUclides diminuir seu risco, ele deve investir aproximadamente 35% na empresa A e 65% na empresa B.