Segunda fase - OBECON - 2023

Valuation

Primeiramente, para descobrir quanto que a ação irá subir, é necessário descobrir qual era o preço antes e após a patente.

Antes da patente:

Observe que a ação iria pagar um valor fixo de 100 reais a cada ano. Para descobrirmos qual é o seu valor, basta calcular a somatória do valor presente de todos os dividendos que serão recebidos.

Observe que o valor presente é representado pela seguinte equação, em que $V$ é o valor presente, $a$ é a quantia recebida e $r$ é a taxa de desconto.

$V = \frac{a}{(1 + r)^1} + \frac{a}{(1 + r)^2} + \frac{a}{(1 + r)^3} + \cdots$

A razão entre os valores é $\frac{1}{1+ r}$. Calculando a soma da progressão geométrica:

$S = \frac{a}{1-q}$
$S = \frac{a}{1 - \frac{1}{1+r}}$
$S = \frac{a}{r}$

Substituindo os valores:

$S = \frac{100}{0.05} = 2000$

Dessa forma, o valor inicial da ação é de 2000 reais.

Após a patente:

Primeiramente, é preciso descobrir qual será o lucro total da firma após a implementação da patente. Para isso, é necessário descobrir quanto será produzido e qual o preço de venda.
Observa que o lucro é dado pela sequinte equação:

$\pi = P \cdot Q - C \cdot Q$

Em que $P$ é o preço, $Q$ é a quantidade e $C$ é o custo de cada unidade.
Dessa forma, substituindo em função de $Q$:

$\pi = Q(50 - 2\cdot Q) - C \cdot Q$
$\pi = 50Q - 2Q^2 - 10Q$
$\pi = 40Q - 2Q^2$

Por fim, basta descobrir qual é o máximo de $\pi$ (considerando que a finam quer maximizar o lucro). Para isso, basta achar a derivada da equação e igualá-la a 0, encontrando o ponto de maximização do lucro.

$\frac{d\pi}{dQ} = 40 - 4Q$
$40 - 4Q = 0$
$Q = 10$

Substituindo na equação do lucro:

$\pi = 40\cdot 10 - 2 \cdot 10^2$
$\pi = 200$

Dessa forma, a criação da patente garantirá um lucro de 200 reais, em adição aos 80 do produto já existente da empresa. Com essas informações, basta achar qual será o valor presente dos lucros da firma. Diferentemente da situação antes da patente, o lucro do novo produto será de 200 pelos próximos 20 anos, enquanto o produto original terá um lucro perene de 80.
Como o lucro será por um período limitado, podemos calcular o valor presente como uma diferença entre perpetuidades. Como demonstrado anteriormente, o valor de uma ação pode ser entendido como $V = \frac{a}{r}$, em que $a$ são é o valor pago a cada período e $r$ é a taxa de juros.
Para calcular a diferença de perpetuidades, basta calcular o valor da perpetuidade hoje (como se ação fosse pagar dividendos para sempre) e substituir o valor da perpetuidade daqui a 20 anos (que será o quanto a ação valeria daqui a 20 anos).
Dessa forma:

$V_p = \frac{a}{r} - \frac{\frac{a}{r}}{(1+r)^{20}}$

Substituindo os valores:

$V_p = \frac{200}{5\%}- \frac{\frac{200}{5\%}}{(1.05)^{20}}$
$V_p = 4000 - \frac{4000}{1.05^{20}}$

Como dito pelo enunciado, $\frac{1}{1.05^{20}} \approx 0.377$. Logo:

$V_p = 4000 - 4000 \cdot 0.377$
$V_p = 2492$

Por fim, basta somar esse valor com os 80 reais do outro produto que serão recebidos anualmente.

$V = 2492 + \frac{80}{5\%}$
$V = 4092$.

Logo, a ação irá subir $4092 - 2000 = 2092$.

item e) R$2092.62

Política Monetária

a) A alternativa não faz sentido. O fato do banco central ter um duplo mandato não influencia de nenhuma forma o valor de $\beta$. Dessa forma, a alternativa está incorreta

b) Ao tomar decisões as suas decisões monetárias e manter uma taxa fixa, o banco central tem como objetivo final maximizar a sua utilidade, como dado pela equação: $v(u, \pi) = \beta (NAIRU - u) - (\pi - \bar{\pi})^2$. Observe que a maximização implica diretamente na minimização do desemprego e da diferença entre a inflação esperada e a meta de inflação. Dessa forma, o ideal seria que o banco central alcançasse nenhum desemprego, com uma inflação igual a meta estabelecida. Contudo, como demonstrado pelo enunciado, o desemprego está diretamente relacionado com a expectativa de inflação mantida pelo mercado (quanto maior a expectativa de inflação, maior o desemprego).
Por isso, para que a alternativa esteja correta, seria necessário que ao conhecer a regra de formulação da política monetária do banco central, os agentes econômicos mantivessem uma expectativa de inflação abaixo da inflação atual, mesmo sabendo que isso resultaria em um desemprego menor que a $\text{NAIRU}$ e em uma consequente pressão inflacionária. Dessa forma, é logicamente impossível que expectativas de inflação abaixo da $\text{NAIRU}$ sejam mantidas mesmo com o conhecimento de que tais expectativas resultariam em uma inflação acima da atual. Logo, é possível concluir que a alternativa está errada (o esperado seria que a taxa de desemprego se igualasse a taxa de desemprego natural).

c) O Banco Central pode ter um incentivo no curto prazo para criar inflação acima da esperada para reduzir o desemprego temporariamente (segundo a curva de Phillips de curto prazo). No entanto, no longo prazo, essa estratégia é contraproducente, pois os agentes econômicos ajustam suas expectativas de inflação para cima, o que leva ao aumento da inflação sem uma redução sustentável do desemprego.

d) Se o banco central adota uma política discricionária, ele não se compromete a uma regra fixa para o estabelecimento de suas políticas monetárias. Apesar de poder ser eficiente para o curto prazo, tal política não garante que $\pi = \bar{\pi}$.
e) Observe que a expectativa dos agente sobre a inflação futura depende da confiança deles que o Banco Central será capaz de garantir uma política monetária efetiva e que será capaz de alcançar uma inflação equivalente a meta. Dessa forma, ao perderem a confiança na capacidade do Banco Central de alcançar seus objetivos monetários, a expectativa dos agentes econômicos pode se distanciar da meta de inflação, tornando essa alternativa correta.

Item e) Se o Banco Central perder credibilidade monetária, podemos ter uma desancoragem das expectativas do setor privado, levando a $\mathbb{E}(\pi) \neq \bar{\pi}$

Curva de Philips

Primeiramente é necessário entender e analisar a Curva de Philips em ambos os casos. No caso do Japão, é perceptível o quanto o aumento no emprego gera um aumento cada vez maior na inflação, quase que de forma exponencial. Por outro lado, ao se analisar a Curva de Philips russa, é possível perceber que a inflação é, em sua maioria, estável para grande parte das taxas de desemprego, apresentando uma pequena elevação quando a taxa de desemprego é muito baixa.
Com essas informações, é possível analisar cada uma das alternativas.

a) Não é possível afirmar com certeza que a Rússia está imune a cenários de alta inflação. Primeiramente, porque apesar do gráfico mostrar a relação entre o desemprego e a taxa de inflação, uma série de outros fatores poderiam resultar em uma alta inflação. Além disso, cenários de desemprego extremamente baixos também poderiam resultar em uma alta inflação.

b) Novamente, o argumento da alternativa anterior se aplica. No caso de uma inflação causada por outros fatores, o aumento da taxa de desemprego não seria tão eficaz para a redução da inflação (algo reforçado pelo aspecto horizontal da curva).

c) Essa alternativa não faz sentido. Em nenhum momento aspectos salariais são apresentados pela questão.

d) A alternativa está correta. Devido ao aspecto horizontal da Curva de Philips russa e ao aspecto exponencial da japonesa, a Rússia seria capaz de suportar taxas de desemprego mais baixas com uma inflação inferior a japonesa.

e) Novamente, nenhuma informação apresentada pela questão garante uma correta análise do grau de exportação e câmbio entre as duas moedas. As únicas informações apresentadas servem para a análise e comparação das taxas de inflação e desemprego.

Item d) A Rússia poderia ter proporcionalmente mais gente trabalhando sem gerar mais inflação do que o Japão.

Tipos de bens

Para responder essa questão, é necessário lembrar da classificação dos diferentes tipos de bens:
Bens Privados - Rivais e excludentes.
Bens Comuns - Rivais e não excludentes.
Bens de Clube - Não rivais e excludentes.
Bens Públicos - Não rivais e não excludentes.
Lembre-se que bens rivais são bens em que o consumo do bem por um agente impede o consumo do bem por outro, e bens excludentes são aqueles bens em que é possível impedir um agente de consumir.

Dessa forma, a única alternativa que apresenta um exemplo que está correto é a alternativa d. Estradas são bens não rivais (a utilização por um agente não impede a utilização por outro) e excludentes (o pedágio impede que certas pessoas utilizem do bem).

Item d) Estradas com pedágio e sem congestionamento são um exemplo de bem de clube.

Teoria dos Jogos

Vamos supor que cada espião escolhe um número aleatório de 0 a 999. Nesse caso, a média seria de 499,5, ⅔ da média seria 333. Logo, se os números fossem escolhidos de maneira aleatória, a decisão óptima seria escolher 333. Contudo, dado que todos os agentes são racionais (e sabem que os outros agentes são racionais), eles pensariam nisso e escolheriam 333. Nesse caso, a média seria 333 e ⅔ seria 222. Novamente, sendo racionais e sabendo que todos os outros agentes são racionais, o processo se repetiria novamente.
No final, a decisão óptima para todos os agentes, na qual não existe incentivo para mudar, é escolher 0 (observe que se um agente sabe que todos os agentes vão escolher 0, ainda faz sentido para ele escolher 0 também).

item a) 0.

PIB - Produto Interno Bruto

a) Neste caso, o “PIB nominal” que irá dobrar, não o PIB real. O PIB real leva em conta somente a quantidade do output, sem levar em conta o preço.

b) Por mais que a depreciação aumente o PIB ao usar a abordagem por meio da renda, ela não está incluida ao analisar o PIB seguindo o modelo demonstrado na questão.

c) Observe que enquanto a compra de uma casa já construída é uma transação secundária, ou seja, não está diretamente relacionada com uma nova produção e/ou investimento, a construção de uma nova casa é um investimento feito diretamente relacionado com o acúmulo de capital. Dessa forma, por causa do PIB contar apenas com o que foi produzido e investido em determinado período, a construção da nova casa entraria no PIB, diferentemente da compra de uma casa já constrúida.

d) Como a compra se dá em território brasileiro, a casa entra para o PIB do Brasil e não do país estrangeiro. Observe que o PIB está relacionado com o que acontece no território nacional, e não com a nacionalidade de quem faz a atividade.

e) Trabalhos que não são remunerados financeiramente não entram no PIB. Dessa forma, enquanto um trabalho de uma firma ou empreender seria levado em consideração no PIB, cuidados com a casa não são levados em conta.

Item c) Na identidade contábil do PIB apresentada, a compra de uma casa já construída não entra no PIB, mas a construção de novas casas entra no $I$, visto que sua produção e compra é parte do acúmulo de capital e investimentos das famílias.

Modelos de Duopólio

O lucro de cada firma é dado pela diferença entre a receita e o custo de produção. Sabemos que o preço do bem é dado por:

$P(Q) = a - Q = a - (q_1 + q_2 + q_3)$

Então, o lucro de cada firma pode ser escrito como:

Firma 1: $\pi_1 = (P - c) \cdot q_1 = (a - q_1 - q_2 - q_3 - c) \cdot q_1$
Firma 2: $\pi_2 = (P - c) \cdot q_2 = (a - q_1 - q_2 - q_3 - c) \cdot q_2$
Firma 3: $\pi_3 = (P - c) \cdot q_3 = (a - q_1 - q_2 - q_3 - c) \cdot q_3$

Firmas 2 e 3 escolhem simultaneamente, então vamos começar derivando suas funções de lucro para encontrar as condições de primeiro-ordem (F.O.C.). Derivando o lucro de $\pi_2$ e $\pi_3$ em relação a $q_2$ e $q_3$, respectivamente, e igualando a zero:

$\frac{d\pi_2}{dq_2} = a - q_1 - 2q_2 - q_3 - c = 0$

$\frac{d\pi_3}{dq_3} = a - q_1 - q_2 - 2q_3 - c = 0$

Agora, isolamos $q_2$ e $q_3$ nas duas equações:

$q_2 = \frac{a - q_1 - q_3 - c}{2}$

$q_3 = \frac{a - q_1 - q_2 - c}{2}$

Substituímos uma equação na outra para resolver o sistema. Substituindo $q_2$ na equação de $q_3$:

$q_3 = \frac{a - q_1 - \frac{a - q_1 - q_3 - c}{2} - c}{2}$

Simplificamos essa equação para obter $q_3$:

$q_3 = \frac{a - q_1 - c}{3}$

Agora que temos $q_3$, substituímos na equação original de $q_2$:

$q_2 = \frac{a - q_1 - \frac{a - q_1 - c}{3} - c}{2}$

Simplificando, obtemos:

$q_2 = \frac{a - q_1 - c}{3}$

Agora, substituímos $q_2$ e $q_3$ na função de lucro da firma 1 para encontrar a quantidade ótima de $q_1$. A função de lucro da firma 1 é:

$\pi_1 = (a - q_1 - q_2 - q_3 - c) \cdot q_1$

Substituindo as expressões de $q_2$ e $q_3$:

$\pi_1 = \left(a - q_1 - \frac{a - q_1 - c}{3} - \frac{a - q_1 - c}{3} - c\right) \cdot q_1$

Simplificamos a equação:

$\pi_1 = \left(a - q_1 - \frac{2(a - q_1 - c)}{3} - c\right) \cdot q_1$

Continuando a simplificação:

$\pi_1 = \left(\frac{a - c}{3} - \frac{q_1}{3}\right) \cdot q_1$

Agora derivamos essa equação com relação a $q_1$ e igualamos a zero para encontrar o ponto de maximização do lucro de $q_1$:

$\frac{d\pi_1}{dq_1} = \frac{a - c}{3} - \frac{2q_1}{3} = 0$

Isolando $q_1$:

$q_1 = \frac{a - c}{2}$

Sabemos que:

$q_2 = \frac{a - q_1 - c}{3}$

Substituímos o valor de $q_1$:

$q_2 = \frac{a - \frac{a - c}{2} - c}{3} = \frac{a - c}{6}$

Da mesma forma, para $q_3$:

$q_3 = \frac{a - q_1 - c}{3} = \frac{a - c}{6}$

As quantidades de equilíbrio para cada firma são:

$q_1 = \frac{a - c}{2}$
$q_2 = \frac{a - c}{6}$
$q_3 = \frac{a - c}{6}$

Logo, a resposta correta é a letra b.

Item b) $q_1 = \frac{a - c}{2}$, $q_2 = \frac{a - c}{6}$, $q_3 = \frac{a - c}{6}$.

Custo de Capital

Apesar de ser uma questão de finanças, a única habilidade necessária para resolve-la é manipulação algébrica.
Observe que $p = \frac{D}{D+E}$, logo $\frac{E}{D+E} = 1-p$ e $\frac{D}{E} = \frac{p}{1-p}$.
Além disso, é preciso utilizar as seguintes equações:

$WACC = \frac{D}{D+E} \cdot r_D + \frac{E}{D+E} \cdot r_E$

$E = D + B, \quad B = b(1 + \frac{D}{E}(1-t))$

$r_D = (r_f + \Delta)(1 - t)$$\Delta = 4\% - \frac{12.5\%}{p}$

$r_E = r_f + B \cdot r_{ERP}$

$r_E = 10\% + \left(1 + \frac{D}{E}0.8\right) \cdot 6\%$

Resolvendo:

$WACC = p(r_f+\Delta)(1-t) + (1-p)(r_f + B \cdot r_{ERP})$

$WACC = p(10\% + \Delta)(1-0.2) + (1-p)(10\% + 6\%B)$

$WACC = 0.8p(10\% + 4\% - \frac{12.5\%}{p}) + (1-p)(10\% + 6\%B)$

$WACC = 0.8p(14\% - \frac{12.5\%}{p}) + (1-p)(10\% + 6\%B)$

$WACC = 0.8p(14\% - \frac{12.5\%}{p}) + (1-p)(10\% + 6\% (1 + \frac{p}{1-p}0.8))$

$WACC = 0.8p(14\% - \frac{12.5\%}{p}) + (1-p)(10\% + 6\% +0.048\frac{p}{1-p}))$

$WACC = 0.112p - 0.1 + 0.16 + 0.048\frac{p}{1-p} - 0.16p - 0.048\frac{p^2}{1-p}$

$WACC = 0.112p + 0.06 + 0.048\frac{p}{1-p} - 0.16p - 0.048\frac{p^2}{1-p}$

$WACC = -0.048p + 0.06 + 0.048\frac{p}{1-p} - 0.048\frac{p^2}{1-p}$

$\frac{WACC}{1-p} = \frac{-0.048p + 0.048p^2 + 0.06 -0.06p + 0.048p - 0.048p^2}{1-p}$

$\frac{WACC}{1-p} = \frac{0.06}{1-p}$

$WACC = 0.06$

Item e) Não importa qual a proporção de $\frac{D}{D + E}$, todas as escolhas oferecem o mesmo WACC.

Externalidades

a) Ao forçar as universidades e fábricas se fundirem, um novo conglomerado será criado. Nesse conglomerado, as decisões terão como objetivo a maximização da utilidade de todas as partes, o que inclui as fábricas e universidades. Nesse caso, uma decisão socialmente óptima seria alcançada, visto que a maximização da utilidade do conjunto se tornaria o objetivo.

b) Ao estabelecer cotas que podem ser negociadas, um mercado seria criado entre os agentes envolvidos. Nesse caso, as cotas de emissão de barulho seriam negociadas até o ponto em que o benefício marginal de ambas as partes por ter uma cota se igualasse. Nesse caso, teríamos alcançado uma situação socialmente óptima.

c) Segundo o Teorema de Coase, em um mercado com custos de transações baixos, uma decisão óptima será alcançada por meio da negociação e da barganha entre diferentes agentes. Dessa forma, por se tratar de uma situação com milhares de estudantes e professores envolvidos, seria necessário grandes esforços para criar uma organização efetiva com o correto alinhamento de interesses, resultando em custos de transação demasiadamente altos.

d) Ao impor um imposto pigouviano, o prefeito taxará cada unidade de produção das fábricas com o objetivo de diminuir a quantidade produzida e alcançar a quantidade óptima. Dessa forma, por mitigar a externalidade negativa gerada pela produção da fábrica, essa é uma medida que pode alcançar o output socialmente óptimo.

e) De forma similar a alternativa anterior, ao obrigar que as fábricas implementem regulações que exigem a instalação de equipamentos de isolamento acústico para reduzir a emissão de ruído, o governo estará usando da regulação para diminuir as externalidades e alcançar o output socialmente óptimo. Logo, trata-se de uma solução que poderia mitigar os efeitos da externalidade.

Item c) Pelo Teorema de Coase, o Prefeito não precisa fazer nada e pode deixar os mercados se ajustarem naturalmente porque os direitos de propriedade estão muito bem definidos, visto que a fábrica tem o direito de fazer barulho. Assim, se cada um dos milhares de estudantes valorizam mais o silêncio do que a fábrica valoriza, eles podem individualmente realizar reuniões, negociar, e se beneficiar de um contrato que reduza os barulhos mediante um pagamento por parte dos estudantes.

Valor esperado da utilidade

Para responder essa questão, é preciso analisar o valor esperado da utilidade de cada opção. Para tal, basta calcular a utilidade em cada situação e multiplicar pela chance dessa opção ocorrer.

Realizar a curva de forma agressiva:

$EU = 0.3\cdot 1000^{\frac{1}{3}} - 0.5\cdot 512^{\frac{1}{3}} + 0$
$EU = 0.3 \cdot 10 - 0.5 \cdot 8$
$EU = 3 - 4$
$EU = -1$

Dessa forma a Utilidade esperada ($EU$) de realizar a curva de forma agressiva é de $-1$.

Realizar a curva de forma cautelosa:

$EU = 0.2\cdot 1000^{\frac{1}{3}} - 0.4\cdot 512^{\frac{1}{3}} + 0$
$EU = 0.2 \cdot 10 - 0.4 \cdot 8$
$EU = 2 - 3.2$
$EU = -1.2$

Dessa forma, como a utilidade de realizar a curva de maneira agressiva é maior do que ser cauteloso, Luigi irá realizar a curva de maneira agressiva sem o seguro.
No cenário que ele possui o seguro, a única diferença seria que o pagamento caso ocorra um acidente seria 0. Logo:

Realizar a curva de forma agressiva:

$EU = 0.3\cdot 1000^{\frac{1}{3}} + 0$
$EU = 0.3 \cdot 10$
$EU = 3$

Realizar a curva de forma cautelosa:

$EU = 0.2\cdot 1000^{\frac{1}{3}} + 0$
$EU = 0.2 \cdot 10$
$EU = 2$

Logo, com o seguro, Luigi também realizaria a curva de forma agressiva.

Item a) Luigi realizará a curva de maneira agressiva sem o seguro, e agressiva com o seguro.