Questões 31-40

Questão 31

Curva de juros - Parte 1

Uma curva de juros (também chamada de curva a termo ou, do inglês, yield curve) relaciona a taxa de juros de títulos de renda fixa com diferentes prazos de maturidade, isto é, quanto tempo leva para que o valor futuro do título seja pago. Em geral, a curva de juros é construída a partir de um título público prefixado. Suponha que o valor futuro de um determinado título público é de R$ 1000, enquanto seu valor presente para diferentes maturidades é dado na seguinte tabela:

Assinale a alternativa que contém a curva de juros que representa adequadamente a situação descrita.

Alternativas

Assunto abordado

Curva de Juros

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Solução

Observe que a curva de juros representa qual é a taxa de juros em cada período de tempo. Nesse caso, podemos usar as informações sobre o Valor Presente de cada maturidade para descobrir a taxa de juros em cada período.
Note que a fórmula de valor presente pode ser descrita como:

$\text{Valor Presente} = \frac{\text{Valor Futuro}}{{(1+i)}^t}$
Sendo assim: ${(1+i)}^t = \frac{\text{Valor Futuro}}{\text{Valor Presente}}$
$1 + i = \sqrt[t]{\frac{\text{Valor Futuro}}{\text{Valor Presente}}}$
$i = \sqrt[t]{\frac{\text{Valor Futuro}}{\text{Valor Presente}}} - 1$

Com base nessa fórmula, conseguimos descobrir o valor de $i$ baseado nas informações dadas pelo exercício.

Primeiro ano:

$i = \sqrt[1]{\frac{1000}{952,38}} - 1$
$i = 1,05 -1$
$i = 5\%$

Segundo ano:

$i = \sqrt[2]{\frac{1000}{797,19}} - 1$
$i = 1,12 -1$
$i = 12\%$

Terceiro ano:

$i = \sqrt[3]{\frac{1000}{693,05}} - 1$
$i = 1,13 -1$
$i = 13\%$

Quarto ano:

$i = \sqrt[4]{\frac{1000}{683,01}} - 1$
$i = 1,10 -1$
$i = 10\%$

Dessa forma, o único gráfico que representa os números demonstrados é o da opção d).

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Gabarito

Item d)

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Questão 32

Curva de juros - Parte 2

O gráfico abaixo mostra a diferença entre as taxas de juros de um título público dos Estados Unidos (EUA) com maturidade de 10 anos e de outro com maturidade de 2 anos. Essa diferença é costumeiramente utilizada para medir a inclinação da curva de juros.

A partir da análise do gráfico, assinale a alternativa correta:

(Vocabulário: Federal Reserve é o banco central dos EUA, encarregado de exercer a política monetária no país.)

Alternativas

a) Os valores no gráfico acompanham o movimento da taxa básica de juros estadunidense, que atingiu altos patamares frente a uma grande reação à crise causada pela pandemia. Não obstante, essa ação gerou uma inclinação fortemente positiva da curva de juros, forçando o Federal Reserve a diminuir as taxas através de operações de mercado aberto, sobretudo durante o ano de 2022.
b) A inclinação torna-se negativa em torno da metade de 2022, indicando uma curva de juros invertida. Esse fenômeno de inversão da curva de juros está associado a um aumento da taxa básica de juros pelo banco central, o que afeta sobretudo os títulos de curta maturidade, e uma expectativa por parte do mercado de desaceleração da economia no médio ou longo prazo, fato que justifica a frequente utilização da inclinação negativa como sinal de recessão.
c) A diminuição da inclinação da curva de juros durante o período exposto é explicada, fundamentalmente, por uma recuperação do otimismo dos investidores na economia estadunidense após um árduo período de desaceleração econômica durante a pandemia. Os efeitos da mudança de expectativas é visível de forma mais notável nas taxas de longo prazo, fato que justifica o uso da inclinação da curva para previsão de dados de atividade econômica.
d) Por conta da incerteza causada pela pandemia e eventos como a guerra na Ucrânia, a inclinação da curva de juros tornou-se bastante positiva durante o ano de 2021. Não obstante, à medida que a economia estadunidense ajustou-se ao novo cenário, a atividade econômica cresceu, acompanhada de menores taxas de juros no curto prazo, o que explica a queda nos valores registrados no gráfico.
e) O gráfico mostra a curva de juros invertendo-se durante o período exposto, atingindo em 2022 uma inclinação negativa. Isso ocorreu tanto por um aumento da taxa de juros no curto prazo, a qual é determinada majoritariamente pelas expectativas dos investidores acerca da economia, quanto por uma queda relativa nas taxas de longo prazo, determinadas pela política monetária exercida pelo Federal Reserve.

Assunto abordado

Curva de Juros

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Solução

Primeiro, é necessário analisar o gráfico, Observe que ele representa a diferença entre as taxas de juros de 10 anos e de 2 anos. É perceptível que ocorreu uma inversão em 2022, situação na qual os títulos de 2 anos estavam pagando mais que os títulos de 10 anos, uma situação conhecida como inversão das taxas de juros.
Tal situação ocorreu devido ao aumento da taxa básica de juros, afetando principalmente os títulos de curto prazo, e a uma mudança nas expectativas do mercado em relação ao juros futuros. Tal situação é representada pela alternativa b).

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Gabarito

Item b) A inclinação torna-se negativa em torno da metade de 2022, indicando uma curva de juros invertida. Esse fenômeno de inversão da curva de juros está associado a um aumento da taxa básica de juros pelo banco central, o que afeta sobretudo os títulos de curta maturidade, e uma expectativa por parte do mercado de desaceleração da economia no médio ou longo prazo, fato que justifica a frequente utilização da inclinação negativa como sinal de recessão.

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Questão 33

Imaginando Juros - Parte 1

Em 1500, existiu um califado árabe bem curioso: Al-Gebra. Ele se situava em uma posição muito privilegiada, tanto com acesso ao mar quanto servindo de entreposto comercial terrestre entre centros consumidores e produtores. Por boa parte de sua economia ser baseada no comércio internacional, Al-Gebra utilizava um sistema monetário com duas moedas em circulação: o Rehani (Re) e o Imarat (Im).

Nos anos de ouro de Al-Gebra, Girolamo Cardano, um polímata italiano, decidiu se mudar para a península arábica para estudar com seus grandes intelectuais. No entanto, assim que se mudou para Al-Gebra, Cardano precisou abrir uma conta no banco da região: o Trigonometra. Quando estava prestes a concluir seu cadastro, ele se deparou com o seguinte plano:

- Para cada 1 Rehani que você tiver na sua conta hoje, será acrescido 1 Imarat no próximo ano.
- Para cada 1 Imarat que você tiver na sua conta hoje, será deduzido 1 Rehani no próximo ano

Assim, por exemplo, se você tiver hoje uma conta com (1 Re, 0 Im), ano que vem você terá (1 Re, 1 Im) e se você tiver hoje uma conta com (0 Re, 1 Im), ano que vem você terá (-1 Re, 1 Im).

Cardano gostaria de depositar 1000 Rehani na sua conta e não pretende mexer nesse dinheiro pelos próximos 2 anos. Qual é a menor taxa de câmbio tal que a operação que Cardano pretende fazer seja rentável?

Alternativas

a) 0.25Re/lm
b) 0.50Re/lm
c) 1.00Re/lm
d) 2.00Re/lm
e) 4.00Re/lm

Assunto abordado

Juros

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Solução

A questão foi anulada devido as diferentes possibilidades de interpretação em relação ao termo rentável. Contudo, considerando que rentável significa que a quantidade de dinheiro se manteria de um ano para o outro, a questão pode ser resolvida.

Note que as únicas regras explícitas são que:
1. Para cada 1 Rehani que você tiver na sua conta hoje, será acrescido 1 Imarat no próximo ano.
2. Para cada 1 Imarat que você tiver na sua conta hoje, será deduzido 1 Rehani no próximo ano

Logo, para calcular quanto que os 1000 Rehani iriam virar em 2 anos, podemos seguir as regras previamente explícitas.

Ano 0: 1000 Rehani, O Imarat
Ano 1: 1000 Rehani, 1000 Imarat
Ano 2: 0 Rehani, 2000 Imarat

Logo, em uma taxa que cada 0.50 Rehani é equivalente a I Imarat a operação já se torna rentável.

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Gabarito

Anulada por falta de informação.

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Questão 34

Imaginando Juros - Parte 2

Sabendo que a taxa de câmbio verdadeira é de 2 Re/Im, isto é, cada Imarat vale 2 Rehani, e que ela é fixa ao longo do tempo, Cardano decide depositar os 1000 Rehani em sua nova conta. Entretanto, na hora de realizar a transação, ele se confunde e acaba depositando 1000 Imarat!

Qual o menor período de tempo que Cardano deverá esperar para que não tenha prejuízo em relação ao depósito inicial?

Alternativas

a) 4 anos
b) 5 anos
c) 6 anos
d) 7 anos
e) 8 anos

Assunto abordado

Juros

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Solução

Para resolver essa questão, podemos fazer de maneira similar ao realizado na questão anterior.

Ano 0: 0 Rehani, 1000 Imarat
Ano 1: -1000 Rehani, 1000 Imarat
Ano 2: -2000 Rehani, 0 Imarat
Ano 3: - 2000 Rehani, -2000 Imarat
Ano 4: 0 Rehani, -4000 Imarat
Ano 5: 4000 Rehani, -4000 Imarat
Ano 6: 8000 Rehani, 0 Imarat

Observe que somente no ano 6 que Cardano reverterá o prejuízo de seu depósito inicial.

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Gabarito

Item c) 6 anos

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Questão 35

PIB complexo

Imagine um país complexo cujo PIB é dado pela função de produção
$Y_t = z_tK_t^{1- \alpha}L_t^{\alpha}$

Onde Y é o PIB, z é o nível de produtividade, K é a quantidade de capital disponível no país, L é a força de trabalho, e é um fator que determina o quanto a força de trabalho e o capital contribuem para o valor final do PIB. Neste país complexo, $\alpha = 1 - \pi i$
. Um estagiário estava calculando a taxa de crescimento do PIB entre o ano 2 e o ano 1, que pode ser aproximada com a fórmula $ln (Y_2) - ln (Y_1)$ . Do ano 1 para o ano 2, a quantidade de capital disponível e a força de trabalho foram elevadas ao quadrado ( $K_2 = K_1^{2}$ e $L_2 = L_1^2$ ). A nova produtividade foi $z_2 = e^{\pi}z_1$ . Porém, ao colocar a nova produtividade na planilha, o estagiário cometeu um erro e digitou $z_2 = e^{\pi i} z_1$ . Não percebendo, ele calculou a taxa de crescimento errada.

A diferença entre a taxa de crescimento errada e a taxa de crescimento verdadeira é:

Alternativas

a) $2\pi i$
b) $4\pi i$
c) $\pi(i-1)$
d) $2\pi(i-1)$
e) $4\pi(i-1)$

Assunto abordado

Crescimento do PIB

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Solução

Vamos primeiramente calcular a taxa de crescimento errada:

$\text{Taxa Crescimento} = \ln(Y_2) - \ln(Y_1)$
$Y_1 = z_1K_1^{\pi i}L_1^{1 - \pi i }$
$Y_2 = e^{\pi i}z_1K_1^{2\pi i}L_1^{2(1 -\pi i)}$
$\text{Taxa Crescimento}_\text{Errada} = \ln\left( \frac{e^{\pi i}z_1K_1^{2\pi i}L_1^{2(1 -\pi i)} }{ z_1K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} }\right)$
$\text{Taxa Crescimento}_\text{Errada} = \ln\left( e^{\pi i}K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} \right)$

E calcular a Taxa de Crescimento correta:

$\text{Taxa Crescimento} = \ln(Y_2) - \ln(Y_1)$
$Y_1 = z_1K_1^{\pi i}L_1^{1 - \pi i }$
$Y_2 = e^{\pi }z_1K_1^{2\pi i}L_1^{2(1 -\pi i)}$
$\text{Taxa Crescimento}_\text{Correta} = \ln\left( \frac{e^{\pi }z_1K_1^{2\pi i}L_1^{2(1 -\pi i)} }{ z_1K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} }\right)$
$\text{Taxa Crescimento}_\text{Correta} = \ln\left( e^{\pi }K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} \right)$

Por fim, basta calcular a diferença entre a taxa de crescimento errada e a taxa de crescimento correta.

$\text{Taxa Crescimento}_\text{Errada} - \text{Taxa Crescimento}_\text{Correta} = \ln\left( e^{\pi i}K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} \right) - \ln\left( e^{\pi }K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} \right)$
$\text{Diferenca} = \ln \left( \frac{ e^{\pi i}K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} }{ e^{\pi }K_1^{\pi i}L_1^{1 -\pi i} } \right)$
$\text{Diferenca} = \ln\left( \frac{e^{\pi i}}{e^{\pi}} \right)$
$\text{Diferenca} = \ln(e^{\pi i}) - \ln(e^{\pi})$
$\text{Diferenca} = \pi i - \pi$
$\text{Diferenca} = \pi(i - 1)$

Dessa forma, a alternativa c é a correta.

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Gabarito

Item c) $\pi(i-1)$

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Questão 36

Ofertando Trabalho

George Akerlof gostaria de contratar novos funcionários para sua empresa Lemon Markets. Sabe-se que esse funcionário trará uma receita de $\theta$ uniformemente distribuído entre 0 e 100 para empresa, isto é, se $\theta = 30$ significa que o funcionário traz 30 reais de receita para a Lemon Markets. Pode-se pensar em como um parâmetro que simboliza o capital humano desse funcionário, visto que quanto maior for $\theta$ , maior a produtividade do funcionário. O valor de $\theta$ varia entre os trabalhadores e é uma informação privada, isto é, quando for decidir contratar alguém, George não saberá se esse trabalhador é alguém muito ou pouco produtivo.

George sabe também que um funcionário com capital humano tem outras opções de trabalho que lhe pagariam $r(\theta) = \frac{2\theta}{3}$ . Assim, alguém com $\theta = 30$ sempre pode trabalhar em algum outro lugar e receber 20 reais. Portanto, para George contratá-lo deverá oferecer um salário $w$ maior. Calcule a proporção de pessoas contratadas $p^{*}$ e o salário no equilíbrio $w^{*}$ .

Alternativas

a) $p^{*} = 100$
b) $p^{*} = 75$
c) $p^{*} = 50$
d) $p^{*} = 25$
e) $p^{*} = 0$

Assunto abordado

Assimetria de Informações

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Solução

George Akerlof só contratará um funcionário se o valor esperado do retorno gerado por ele for superior ao custo de contratação. Portanto, é necessário analisar quais funcionários seriam contratados com base no salário que George define.

Suponha que George ofereça um salário de 20. Ele gostaria que apenas os funcionários com produtividade superior a 20 aceitassem o emprego, pois eles gerariam lucro para ele. Por outro lado, aqueles com produtividade inferior a 20 trariam prejuízo e, idealmente, não deveriam aceitar o trabalho. No entanto, George não consegue distinguir entre os funcionários de cada grupo, o que significa que ele acaba contratando trabalhadores de ambos.

Com um salário de 20, todos os funcionários com produtividade igual ou inferior a 30 aceitarão o emprego. Dentre eles, os que têm produtividade entre 21 e 30 são desejáveis, pois geram lucro superior ao custo do salário. No entanto, o mesmo não ocorre para os funcionários com produtividade inferior a 20, que geram prejuízo. Como resultado, George acaba contratando mais trabalhadores com produtividade de 20 ou menos, o que leva a perdas financeiras. Portanto, sua decisão será não contratar ninguém, resultando em $p^{*} = 0$ .

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Gabarito

Item e) $p^{*} = 0$

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Questão 37

Ah… Tanto faz, Querido

Kreps está escolhendo onde irá jantar com sua esposa. Existem três restaurantes nos quais ele pode fazer uma reserva:

1. O Restaurante Ariel&Aioli oferece tanto pasta quanto frutos do mar. Entretanto, a comida é boa 25% das vezes e é razoável nas outras 75%.
2. O Restaurante Bella Pasta oferece apenas pasta. Entretanto, a comida do restaurante é sempre boa.
3. O Restaurante Cucina del Mare oferece tanto pasta quanto frutos do mar. Porém, sabe-se que a comida é razoável 75% das vezes e ruim 25% das vezes.

Kreps sabe que existem dias em que sua esposa está com vontade de comer frutos do mar e dias em que ela prefere pasta, mas ele não sabe qual é o caso no momento da reserva. Ele sabe, no entanto, que a utilidade de sua esposa é dada pela seguinte matriz de payoffs, onde, para cada célula, a primeira entrada representa a utilidade dela em um dia em que ela prefere comer frutos do mar, e a segunda representa a utilidade dela em um dia em que ela prefere comer pasta:

Denotaremos por P a probabilidade de ela estar em um dia em que prefere frutos do mar e que 1-_P_ é a de ela estar em um dia em que prefere pasta. Analise as seguintes informações:

I. Ela sempre prefere o Restaurante Ariel&Aioli à Cucina del Mare.
II. Se $P=50\%$ , o maior valor para x tal que ela prefere o Bella Pasta ao Ariel&Aioli é 14.
III. Se $x=3$ e $P=30\%$ a utilidade esperada dela ao ir à Cucina del Mare é de 7.5
IV. Se $12\leq x \leq 16$ , ela sempre prefere o Ariel&Aioli ao Bella Pasta.

Alternativas

a) I, II e III
b) I, II e IV
c) I, II e IV
d) II, III e IV
e) Nenhuma das anteriores.

Assunto abordado

Teoria dos Jogos

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Solução

Vamos analisar cada alternativa.

I. Ela sempre prefere o Restaurante Ariel&Aioli à Cucina del Mare.

Observe que ambos os restaurantes oferecem ambos os tipos de comida, e são regulares 75% das vezes. A única diferença é que, enquanto o Ariel&Aioli é 25% das vezes bom, o Cucina del Mare é 25% das vezes ruim.
Como os payoffs de uma comida boa são melhores do que de uma comida ruim (não me diga), ela sempre prefere o Ariel&Aioli ao Cucina del Mare.

II. Se P=50%, o maior valor para x tal que ela prefere o Bella Pasta ao Ariel&Aioli é 14.

Os seguintes esquemas representam as possibilidades de comida e vontades da esposa de Kreps:

Agora vamos calcular o valor esperado para cada uma das situações:

Ariel&Aioli:

$EV_{\text{Ariel\&Aioli}} = 12 \cdot 0.5 \cdot 0.75 + 18 \cdot 0.5 \cdot 0.25 + x \cdot 0.5 \cdot 0.75 + 24 \cdot 0.5 \cdot 0.25$
$EV_{\text{Ariel\&Aioli}} = 4.5 + 2.25 + 0.375x + 3$
$EV_{\text{Ariel\&Aioli}} = 9.75 + 0.375x$

Bella Pasta:

$EV_{\text{Bella Pasta}} = 6 \cdot 0.5 + 24 \cdot 0.5$
$EV_{\text{Bella Pasta}} = 15$

Para obedecer a condição explícita na alternativa, $EV_{\text{Bella Pasta}} \geq EV_{\text{Ariel\&Aioli}}$ .
Logo:

$15 \geq 9.75 + 0.375x$
$15 - 9.75 \geq 0.375x$
$5.25 \geq 0.375x$
$x = \frac{5.25}{0.375}$
$x = 14$

Ou seja, enquanto $x \leq 14$ , ela irá prefeir o Bella Pasta ao Ariel&Aioli, ou será indiferente entre eles. Dessa forma, a alternativa está correta.

III. Se x=3 e P=30% a utilidade esperada dela ao ir à Cucina del Mare é de 7.5

Segue o esquema referente ao valor esperado dela ir ao Cucina del Mare:

Observe que, dado que $x=3$ , mesmo se ela preferir pasta, ela ainda irá pedir Frutos do Mar caso a comida seja razoável.
Dessa forma:

$EV_{\text{Cucina del Mare}} = 12 \cdot 0.3 \cdot 0.75 + 6 \cdot 0.3 \cdot 0.25 + 6 \cdot 0.7 \cdot 0.75 + 0 \cdot 0.7 \cdot 0.25$
$EV_{\text{Cucina del Mare}} = 2.7 + 0.25 + 3.15 + 0$
$EV_{\text{Cucina del Mare}} = 6.1$

Logo, a utilidade de ir no Cucina del Mare é de 6.1, não de 7.5 como dito no enunciado.

IV. Se 12≤ x ≤ 16, ela sempre prefere o Ariel&Aioli ao Bella Pasta.

Observe que conseguimos provar que essa alternativa é errada com base no processo de solução da alternativa II. Como demonstrado naquela situação, ela irá preferir (ou ser indiferente) o Bella Pasta ao Ariel&Aioli caso $x \leq 14$ . Logo, é impossível que ela prefira o Ariel&Aioli em toda situação em que $12\leq x \leq 16$ .

Sendo assim, apenas as alternativas I e II, estão corretas.

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Gabarito

Item e) Nenhuma das anteriores.

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Questão 38

Bayesian Persuasion

Considere um cenário onde uma Juíza e um Promotor estão envolvidos em um caso judicial. O Promotor busca convencer a Juíza sobre a culpa do réu, independentemente dele ser culpado ou não, enquanto a Juíza busca descobrir a verdade, isto é, Condenar se o réu for culpado e Absolver caso seja inocente. Seus payoffs estão resumidos na matriz abaixo, em que a linha apresenta o estado da natureza, isto é, se o réu é culpado ou não, e a coluna apresenta as estratégias da Juíza. O primeiro elemento de cada entrada da matriz é o payoff da Juíza e o segundo é o do Promotor.

É conhecimento comum que a probabilidade ex-ante de um réu ser culpado é de P(Culpado)= 30%. Ambos são informados sobre a evidência disponível, mas o Promotor tem acesso a informações adicionais que podem influenciar a percepção dela. Suponhamos que ele sabe se o réu é culpado ou inocente e pode decidir fazer uma investigação justa, em que P(Prova favorável a Absolver|Inocente) = P(Prova favorável a Condenar | Culpado)=100%, uma investigação incriminatória, em que P(Prova favorável a Absolver|Inocente)=4/7 e P(Prova favorável a Condenar| Culpado)=100%, ou uma investigação perversa, em que P(Prova favorável a Condenar|Inocente)=P(Prova favorável a Condenar | Culpado)=100%. Sabendo que a única fonte de informação da Juíza é o Promotor, cujo tipo de investigação adotado ela sabe de antemão, e que quando ela está indiferente entre Absolver e Condenar ela acaba condenando, qual das estratégias o Promotor escolherá, e qual é o seu payoff esperado em cada uma delas?

Alternativas

a) O Promotor escolherá uma investigação justa, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 1, o da incriminatória é de 0.7 e o da perversa é de 0.3.
b) O Promotor escolherá uma investigação justa, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 0.6, o da incriminatória é de 0.3 e o da perversa é de 0.
c) O Promotor escolherá uma investigação perversa, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 0.3, o da incriminatória é de 0.6 e o da perversa é de 1.
d) O Promotor escolherá uma investigação incriminatória, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 4/7, o da incriminatória é de 3/7 e o da perversa é de 0.3.
e) O Promotor escolherá uma investigação incriminatória, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 0.3, o da incriminatória é de 0.6 e o da perversa é de 0.

Assunto abordado

Teoria dos Jogos

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Solução

Primeiramente, é possível observar pela matriz de payoffs que o promotor é recompensado sempre que o réu é condenado, enquanto a juíza é recompensada pela verdade, ou seja, condenar quando o réu for culpado e absolver quando o réu for inocente.
Ambos já sabem de antemão que existe 30% de chance do réu ser culpado, o promotor irá saber a verdade, e a juíza saberá a estratégia escolhida pelo promotor.

Vamos analisar cada estratégia.

Investigação Justa: Nesse caso, o promotor irá falar para a juíza a verdade sobre o réu (e a juíza sabe disso). Sendo assim, em 70% das vezes o promotor irá dizer que o réu é inocente e em 30% das vezes o promotor irá dizer que o réu é culpado. A juíza, sabendo que o promotor estará dizendo a verdade, irá culpa-lo 30% das vezes e inocenta-lo nas outras 70%, resultando em um payoff médio de 0.3 para o promotor.

Investigação Perversa: Nesse caso, o promotor sempre irá falar que o réu é culpado (e a juíza saberá disso). Observe que, caso o réu seja realmente culpado, não faz sentido para o promotor jogar essa estratégia (já que com a outra estratégia a juíza terá certeza que a verdade estava sendo dita). Dessa forma, sabendo que não faz sentido escolher essa estratégia caso o réu seja realmente culpado, o promotor somente escolheria quando o réu fosse inocente. A juíza, sabendo desse fato, poderia concluir que o réu é inocente caso o promotor escolha essa estratégia. Sendo assim, o valor esperado dessa estratégia é 0.

Investigação Incriminatória: Nesse caso que a situação começa a ficar interessante. O esquema a seguir representa as possibilidades do jogo.

Observe que em em 40% dos casos ( $0.7 \cdot \frac{4}{7}$ ), o promotor dirá que o réu é inocente. Por sua vez, em 60% dos casos ( $0.3 + 0.7 \cdot \frac{3}{7}$ ), o promotor dirá que o réu é culpado, no qual em 50% das vezes a afirmação é verdade. Dessa forma, ao saber que a investigação escolhida foi a Incriminatória, e que o Promotor disse que o réu é culpado, a juíza saberá que existe uma chance de 50% da afirmação ser verdadeira, e 50% de ser falsa.
Nessa situação, uma informação no final do enunciado da questão faz toda a diferença. Ao ficar indiferente entre Absolver e Condenar, a juíza acaba condenando. Sendo assim, sempre que o réu for tido como culpado em uma investigação Incriminatória, ele será condenado pela juíza, resultando em um payoff de 0.6 para o promotor.

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Assunto abordado

Item e) O Promotor escolherá uma investigação incriminatória, visto que o payoff esperado da estratégia justa é de 0.3, o da incriminatória é de 0.6 e o da perversa é de 0.

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Questão 39

Caro ou barato?

A seguir encontra-se uma tabela com valores para ações de três empresas fictícias diferentes, todas do mesmo setor e com modelos de negócio comparáveis: Obecorp, Olympic S.A e 3R Crusoé.

(i)Analisando os múltiplos das ações, é possível perceber que a ação da Olympic S.A. é a mais barata em relação ao lucro líquido da empresa, seguida pela ação 3R Crusoé e depois pela da Obecorp, a mais cara entre as três.

(ii). O índice preço-conta (do inglês, price-to-book), que mede o valor de mercado da empresa em relação ao seu valor contábil, da ação da Obecorp é o único menor do que 1, o que sugere que a ação pode estar subprecificada.

(iii). A capitalização de mercado (o quanto a empresa vale de acordo com o preço de sua ação) da 3R Crusoé é a maior entre as três empresas, sendo equivalente a pouco mais de 3 vezes a da Obecorp.

Assinale a alternativa que contém as afirmativas corretas.

Alternativas

a) i
b) i, ii
c) ii, iii
d) i, iii
e) iii

Assunto abordado

Finanças

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Solução

Vamos analisar cada alternativa:

i) Para descobrir qual ação é a mais barata, é preciso avaliar qual ação possui o menor índice Preço/Lucro. Para tal, basta multiplicar o preço da ação pelo número de ações e dividir pelo Lucro. Dessa forma:

$P/L_{\text{Obecorp}} = \frac{143\cdot1020}{11220} = 13$
$P/L_{\text{Olympic S.A}} = \frac{5\cdot34800}{8700} = 20$
$P/L_{\text{3R Crusoe}} = \frac{30\cdot15100}{24160} = 18.75$

Sendo assim, a realidade é o inverso do apresentado pela alternativa, já que a Olympic S.A é a empresa mais cara, seguida pela 3R Crusoé e Obecorp.

ii) Para descobrir a relação preço-conta das empresas, basta multiplicarmos o preço da ação pela quantidade de ações e dividir pelo patrimônio liquído. Dessa forma:

$P/B_{\text{Obecorp}} = \frac{143\cdot1020}{194480} = 0.75$
$P/B_{\text{Olympic S.A}} = \frac{5\cdot34800}{116000} = 1.5$
$P/B_{\text{3R Crusoe}} = \frac{30\cdot15100}{377500} = 1.2$

Logo, a afirmação está correta, dado que a Obecorp é a única empresa com um price-to-book menor que 1.

iii) Por, fim precisamos multiplicar o preço da ação pelo número de ações para encontrar a capitalização de mercado das empresas. Dessa forma:

$\text{Market Cap}_{\text{Obecorp}} = 143 \cdot 1020 = 145860$
$\text{Market Cap}_{\text{Olympic S.A}} = 5 \cdot 34800 = 174000$
$\text{Market Cap}_{\text{3R Crusoe}} = 30 \cdot 15100 = 453000$
$\frac{453000}{145860} \approx 3.11$

Por fim, é possível concluir que as alternativas ii e iii estão corretas.

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Gabarito

Item c) ii e iii.

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Questão 40

Sommelier exigente

Um produtor de vinho possui uma pequena vinícola em uma ilha do Sul da Grécia. Lá, ele produz um tipo de vinho bastante especial para um exigente sommelier de vinhos, seu único cliente. No entanto, a qualidade da bebida depende das condições climáticas da região. Existe uma chance de 40% de que o tempo seja desfavorável para o plantio e que a safra seja ruim, situação em que o produtor sofre uma perda de $30.000. Já quando a safra é boa, o produtor oferece uma taça da bebida para o sommelier, que decide se vai comprar o restante do vinho produzido após uma rigorosa degustação. Em 80% das vezes, o sommelier compra os vinhos, e o produtor lucra $100.000, mas em 20% das vezes, os vinhos não são comprados, o que resulta em um prejuízo de $50.000.

Apesar dele poder continuar suas operações do jeito que está (t = 0), o produtor está cansado de depender das condições naturais, e ele considera realizar uma reforma na sua vinícola que introduziria novas tecnologias de controle de temperatura e umidade, investimento que custaria $100.000 (t = 0) e teria duração de um ano, ou seja, a produção de uvas cessaria por este ano e o próximo (t = 0 e t = 1) e só poderia ser retomada no segundo ano (t = 2). Essa reforma reduziria para 15% a chance de se obter uma safra ruim.

Uma terceira opção seria vender a vinícola imediatamente (t = 0) a um preço de $350.000 e investir o dinheiro a uma taxa livre de risco de 10% a.a.

Assinale a alternativa correta a partir de uma análise dos retornos em cada um dos cenários. Considere o valor dos projetos na perpetuidade, isto é, as vinícolas produzem para sempre, e utilize a taxa livre de risco como taxa de desconto.

Alternativas

a) Para o produtor, é indiferente a escolha entre manter a vinícola do jeito que ela se encontra atualmente e reformá-la, uma vez que o valor presente líquido continua o mesmo: $350.000
b) O valor presente líquido de não reformar a vinícola, reformá-la e de vendê-la, são, respectivamente, de $311.333, $415.000 e $385.000. Assim, a opção mais vantajosa é realizar a reforma.
c) Embora os fluxos de caixa esperados aumentem com a reforma, esse crescimento não é suficiente para justificar um dispêndio de $100.000, que seriam melhor utilizados em um investimento rendendo a taxa livre de risco.
d) O preço ao qual o produtor poderia vender a vinícola está acima do que a operação de fato vale, mesmo após a reforma. Assim, a escolha que gera maiores retornos esperados é a venda da propriedade.
e) O produtor de vinhos deve escolher fazer a reforma para maximizar seu retorno esperado, já que o projeto da vinícola com a reforma possui um valor presente líquido de $400.000.

Assunto abordado

Valor Presente e Futuro

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Solução

Vamos analisar o Valor Presente de cada uma das três opções.

1- Vender a vinícola imediatamente

Nesse caso, o valor presente seria de $350,000 (o valor de venda).

2- Continuar as operações

Nesse caso, é necessário calcular o valor de lucro esperado a cada ano, dado as probabilidades expostas no enunciado.
Sendo assim, pode-se achar o valor esperado em um ano através da seguinte equação:

$EV = 0.4 \cdot -30000 + 0.6 \cdot 0.8 \cdot 100000 + 0.6 \cdot 0.2 \cdot -50000$
$EV = 30000$

Ou seja, a cada ano o lucro esperado será de 30000. Com esse dado em mãos, basta calcular o valor esperado da empresa, dado pela soma dos valores pagos em cada ano, como demonstrado pela seguinte fórmula $VP = CF_O + \frac{CF_1}{r}$ , em que $r$ é a taxa de desconto.
Sendo assim:

$VP = 30000 + \frac{30000}{10\%}$
$VP = 330000$

3- Realizar o investimento

Com a realização do investimento, a chance de se obter uma safra ruim seria reduzida para 15%, mudando a equação do valor esperado previamente exposta:

$EV_I = 0.15 \cdot -30000 + 0.85 \cdot 0.8 \cdot 100000 + 0.85 \cdot 0.2 \cdot -50000$
$EV_I = -4500 + 68000 - 8500$
$EV_I = 55000$

Por fim, resta calcular o Valor Presente Líquido, como no caso anterior.

$VPL = CF_O + \frac{CF_1}{{(1+r)}^1} + \frac{CF_2}{{(1+r)}^2} ... \frac{CF_n}{{(1+r)}^n}$

Como demonstrado anteriormente, podemos calcular a soma de parcelas iguais por meio da fórmula de perpetuidade.
Logo:

$VPL = -100000 + \frac{\frac{55000}{10\%}}{1.1}$
$VPL = -100000 + \frac{550000}{1.1}$
$VPL = 400000$

Logo, a firma deveria fazer o investimento, já que obteria um valor presente líquido de 400000.

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Gabarito

Item e) O produtor de vinhos deve escolher fazer a reforma para maximizar seu retorno esperado, já que o projeto da vinícola com a reforma possui um valor presente líquido de $400.000.

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