OBF 2008 - Terceira Fase (Nível 2)

Escrita por Thomas Bergamaschi

Você pode acessar a prova aqui

Questão 01:

Dois eixos iguais são construídos em forma de três cilindros concêntricos cujos raios valem respectivamente $R$ , $2R$ e $3R$ e a distância entre os centros vale $L = 3\pi R$ . Ambos os eixos giram com mesmo período de rotação $T_{0}$ e três correias são presas nos eixos como mostra a figura. Em cada correia há uma marca, que no instante $t = 0$ está alinhada com a referência $O$ . Supondo que as correias giram sem escorregar nos eixos, qual é o menor tempo para que as três marcas estejam alinhadas novamente com a referência $O$ ?

Assunto abordado

Movimento circular

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Solução

Sabemos que apos uma volta cada marca percorrera uma distancia $d_{i}=2\pi R_{i}+2L=2\pi R_{i}+6\pi R$ . onde $d_{i}$ representa a distancia percorrida pela correia com raio $R_{i}$ .

Assim, temos que, $d_{1}=8\pi R$ , $d_{2}=10\pi R$ e $d_{3}=12\pi R$ .

Agora, vamos assumir que a velocidade da primeira correia é $v_{1}$ , tal que $v_{1}=2\pi R/T_{0}$ . Dessa forma a velocidade da segunda e terceira correia é $2v_{1}$ e $3v_{1}$ respectivamente.

Assim, as marcas vao coincidir quando cada correia percorrer $N_{i}$ voltas inteiras, que ocorrera em um tempo $t$ tal que:

$t=\frac{N_{1}d_{1}}{v_{1}}=\frac{N_{2}d_{2}}{v_{2}}=\frac{N_{3}d_{3}}{v_{3}}$

Dessa forma, achamos que:

$8N_{1}=5N_{2}=4N_{3}$

Como todos os $N_{i}$ sao inteiros, precisamos encontrar o MMC desses numeros( $8$ , $5$ e $4$ ) que é $40$ .

Assim, $N_{1}=5$ e o tempo é:

$t=frac{N_{1}d_{1}}{v_{1}}=20T_{0}$

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Gabarito

O tempo é $20T_{0}$ .

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Questão 02:

Uma lente biconvexa é construída com um plástico de índice de refração $n$ . Fazendo um experimento no ar, observa-se que quando um objeto é colocado a uma distância $p = 45$ $cm$ da lente, uma imagem real é formada a $360$ cm da lente. Repetindo o experimento dentro de um liquido de índice de refração $n_{l} =1,5$ , para um objeto a mesma distância $p = 45$ $cm$ da lente, obtém-se uma imagem virtual a $30$ $cm$ da lente. Determine $n$ e os raios de curvatura da lente.

Assunto abordado

Lentes e Optica

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Solução

Usando a equacao de Gauss temos:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

E com $p=45$ $cm$ e $p'=360$ $cm$ temos $f=40$ $cm$ .

Agora podemos usar a equacao dos fabricadores de lente, e como a lente é biconvexa os seus dois raios de curvatura sao iguais assim temos que no ar:

$\frac{1}{f}=\frac{2(n-1)}{R}$

Assim, $R=80(n-1)$ .

Ja na agua usamos a equacao de gauss novamente e obtemos que o foco da lente na agua é de $f'=-90$ $cm$ .

Assim, usando a equacao dos fabricadores de lente obtemos:

$\frac{1}{f'}=\frac{2(n-n_{l})}{Rn_{l}}$

Logo, $R=120(1,5-n)$ .

Resolvendo o sistema para $R$ e $n$ , obtemos que:

$n=1,3$ e $R=24$ $cm$

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Gabarito

$n=1,3$ e $R=24$ $cm$

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Questão 03 (Questao exclusiva do primeiro ano):

Em um recipiente de capacidade térmica desprezível existe uma mistura de água e gelo. A massa desta mistura é de $10$ $kg$ . O recipiente é colocado no interior de uma casa e imediatamente inicia-se a medição da temperatura da mistura em função do tempo. O gráfico obtido está indicado na figura $2$ . Qual era a massa de gelo que existia no recipiente quando este foi colocado nesta residência? Considere que o calor latente de fusão do gelo vale $3,0*10^{5}$ $J/kg$ e que o calor específico da água é $4200$ $J/(kg K)$ .

Assunto abordado

Calorimetria

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Solução

Após $50$ minutos, temos no recipiente água a $0$ graus Celsius. Verificamos que esta massa de água aumenta a temperatura de $2$ $C$ em $10$ $min$ (a variação de $2$ $C$ é igual à variação de $2$ $K$ ). Isto significa que recebeu uma quantidade de calor:

$Q = mc\delta_{T} =10*4200*2 = 84000$ $J$

Este fato ocorre em $10$ min, ou $600$ segundos. A potência de fornecimento de energia é de:

$P=\frac{84000}{600}=140$ $J/s$

Para o gelo ser derretido ele precisou receber energia durante $50$ $min$ , ou $3000$ $s$ então ele recebeu uma quantidade de energia igual a:

$W=140*3000=420000$ $J$

Sendo o calor latente de fusão do gelo $3,0 x 10^{5}$ $J/kg$ , então a massa de gelo era:

$m=\frac{4,2*10^{5}}{3,0*10^{5}}=1,4$ $kg$

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Gabarito

$m=1,4$ $kg$

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Questão 04:

Um palco flutuante, de base plana $A$ , foi projetado para ser utilizado em água do mar, cuja densidade é $3%$ maior que a da água doce. Quando ele está com carga total, o nível de água atinge a linha de segurança, que está à altura $h_{m}$ da base inferior. Contudo, os promotores de um evento quiseram usar esse mesmo palco em um lago de água doce. Cientes de que com carga total o nível de segurança seria ultrapassado, eles propuseram aos patrocinadores que, em troca de publicidade, providenciassem quatro balões iguais cheios de um gás (cuja densidade é um décimo da densidade do ar) os quais seriam amarrados em pontos convenientes para que o palco voltasse à linha de segurança original. Sabendo-se que a carga total, incluída a massa do próprio palco, é de $6400$ $kg$ , calcule o volume de cada balão. Despreze as massas dos balões, das cordas e do próprio gás.

Assunto abordado

Empuxo

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Solução

No mar, que possui densidade $d$ , teremos equilibrio é numericamente igual ao peso. Assumindo que $M$ é a massa total temos que:

$Mg=d*A*h_{m}*g$

De modo que $h_{m}=\frac{M}{dA}$ .

Na agua doce, com densidade $D$ , o empuxo total tem de se igualar ao peso, logo:

$Mg=E_{1}+4E_{balao}$

Onde $E_{1}$ se trata do empuxo da plataforma, dado por $E_{1}=A*D*g*h_{m}$ . E $E_{balao}$ se trata do empuxo de cada balao, dado por $4\rho Vg$ , onde $\rho$ se trata da densidade do ar.

Assim, obtemos que o volume do balao é:

$V=38,8$ $m^{3}$

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Gabarito

$V=38,8$ $m^{3}$

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Questão 05:

A energia cinética de rotação de um corpo rígido que gira com velocidade angular $\omega$ em torno de certo eixo, é dada por $E_{rot} = I\omega^{2}/2$ . A grandeza $I$ é chamada de momento de inércia, a qual depende não só da massa do corpo, mas também de como a massa está distribuída em torno do eixo de rotação. Seja um corpo rígido constituído de dezesseis bolas de mesma massa m que estão distribuídas simetricamente ao longo de duas circunferências concêntricas de raios $r$ e $2r$ . Elas estão ligadas entre si por barras finas e rígidas de massa desprezível, como mostra a figura 3. Expressando o resultado em termos da massa total $M =16m$ e do raio externo $R = 2r$ , calcule o momento de inércia do corpo na situação onde ele gira, com velocidade angular constante $\omega$ , em torno de um eixo:

a) perpendicular ao plano que contem as circunferências e que passa pelos seus centros

b) que pertence ao plano que contém as circunferências e que passa por quatro bolas.

Assunto abordado

Energia e movimento circular

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Solução

Em uma trajetoria circular a velocidade da particula é dada por $v=\omega r$ .

De modo que a energia cinetica de cada particula sera $E=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{mr^{2}\omega^{2}}{2}$ . Com isso em mente podemos resolver o exercicio como abaixo:

a) Nesse caso temos $8$ particulas a uma distancia $r$ e $8$ a uma distancia $2r$ , de modo que a energia total é a soma das enrgias individuais, assim:

$E_{Total}=20mr^{2}\omega^{2}$

Assim, $I=40mr^{2}=\frac{5MR^{2}}{8}$

b) Nesse caso, temos $4$ particulas a uma distancia $rcos(45^{\circ})$ do eixo, $4$ a uma distancia $r$ , $4$ a uma distancia $2rcos(45^{\circ})$ e mais $4$ a uma distancia $2r$ , e tambem $4$ particulas a uma distancia $0$ do eixo.

Assim, somando as energias obtemos que:

$E_{Total}=10mr^{2}\omega^{2}$

Assim, $I=20mr^{2}=\frac{5MR^{2}}{16}$

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Gabarito

a) $\frac{5MR^{2}}{8}$

b) $\frac{5MR^{2}}{16}$

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Questão 06 (Exclusiva para o primeiro ano):

Em uma estrada retilínea, dois carros, $A$ e $B$ , estão se movendo em sentidos opostos com velocidades constantes. Um helicóptero acompanha o movimento dos carros, movendo-se paralelamente à estrada e no mesmo sentido de $A$ . Para um passageiro do carro $A$ (isto é, no referencial do carro $A$ ), a velocidade do helicóptero é de $100$ $km/h$ , enquanto que para um passageiro de $B$ esta velocidade, em modulo, é de $150$ $km/h$ . Sabendo-se que em $t = 0$ a distância entre os carros é de $10 km$ , em que instante eles irão se encontrar?

Assunto abordado

Cinematica

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Solução

No referencial de A, vemos o helicoptero a $100$ $km/h$ e como um observador em B ve o helicoptero se movendo a $150$ $km/h$ , podemos concluir trivialmente que um observador em A ve B se aproximando a $50$ $km/h$ , assim, o tempo para encontro $T$ é:

$T=\frac{d}{v}=\frac{10}{50}$ $h=0,2$ $h$

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Gabarito

$0,2$ $h$ = $12$ $min$

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Questão 07:

Em um quadro de madeira fixo na parede é preso um pêndulo constituído de uma barra metálica de massa desprezível de $40$ $cm$ e um pequeno disco que pode oscilar livremente. O pêndulo é colocado a oscilar e, no momento em que ele passa pela parte mais baixa de sua trajetória, com velocidade igual a $2,0$ $m/s$ , deixa-se o quadro cair em queda livre (sem girar, inclinar, vibrar ou encostar na parede). Depois de quanto tempo o disco voltará a passar pela mesma posição mais baixa de sua trajetória? Despreze o atrito e a resistência do ar.

Assunto abordado

Movimento circular

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Solução

O quadro está em queda livre assim como o pêndulo, portanto, relativamente ao quadro o pêndulo mover-se-á como se não existisse a gravidade. Isto fará com que ele gire com velocidade angular constante. Esta velocidade é:

$\omega=\frac{v}{r}=5,0$ $rad/s$

Assim, o tempo pedido é:

$T=2\pi R/\omega=0,4\pi$ $s$

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Gabarito

$0,4\pi$ $s$

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Questão 08:

Uma calota esférica, de $60$ $cm$ de raio e espessura desprezível, é espelhada em ambos os lados de modo a constituírem dois espelhos. Colocando-se um objeto à uma distância $p$ desta calota, nota-se que a altura de sua imagem, quando a face convexa atua como espelho, é metade da altura da imagem obtida quando colocamos o outro lado da calota. Sabendo-se que em qualquer dos casos a imagem é direita, determine $p$ .

Assunto abordado

Optica

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Solução

Nesse caso, o foco do espelho é $f=R/2$ . Assim, na face concava temos que $f_{1}=30$ $cm$ . E na convexa, $f_{2}=-30$ $cm$ .

Pela equacao de Gauss, e pela equacao do aumento de uma lente, temos que na face concava o aumento é $M_{1}=\frac{f}{f-p}=\frac{30}{30-p}$ . E na convexa o aumento é $M_{2}=\frac{f}{f-p}=\frac{30}{30+p}$ .

Como a razao das alturas é 2, a razao das magnificacoes tambem devera ser, logo:

$\frac{30+p}{30-p}=2$

Assim, $p=10$ $cm$ .

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Gabarito

$p=10$ $cm$

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Questão 09:

Na superfície de um lago de águas paradas encontra-se em movimento um tronco, de massa $400$ $kg$ e comprimento $18$ $m$ , com uma velocidade constante igual a $4,0$ $m/s$ em relação às margens do lago. Em um determinado instante, um homem de massa $80$ $kg$ começa a correr sobre ele, saindo de uma extremidade a outra, com uma velocidade igual a $3,0$ $m/s$ em relação ao tronco e no mesmo sentido de seu movimento. Qual a distância percorrida pelo tronco sobre a água, do instante que o homem deixa uma de suas extremidades e alcança a outra extremidade? Considere desprezível a resistência produzida pela água ao movimento do tronco.

Assunto abordado

Conservacao de Momento

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Solução

Temos simplesmente, que vai demorar um tempo $T$ , para chegar ao outro lado, tal que $T=18/3$ $s=6$ $s$ .

Sabemos que a massa total do sistemema é $480$ $kg$ , assim, por conservacao de momento, onde $u$ é a nova velocidade do barco temos:

$480*4=480*u+80*3$

Onde o primeiro termo representa o momento inicial, e o terceiro termo o momento da pessoa no referencial do barco. Assim, $u=3,5$ $m/s$ , e a distancia é $uT=21$ $m$ .

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Gabarito

$21$ $m$

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Questão 10:

Desejando determinar a temperatura de um forno, um estudante colocou em seu interior um cilindro de massa de $50$ $g$ e calor específico igual a $0,22$ $cal/g^{\circ}C$ . Após certo intervalo de tempo o cilindro foi retirado do forno e imediatamente colocado no interior de uma garrafa térmica com $330$ $g$ de água. A temperatura da água variou de $19$ $^{\circ}C$ para $20$ $C$ . Considerando o calor específico da água $1,0$ $cal/g^{\circ}C$ , calcule a temperatura que se encontrava o forno no momento que o cilindro foi retirado do seu interior. Despreze as perdas de calor para o ambiente e a capacidade térmica da garrafa.

Assunto abordado

Calorimetria

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Solução

Sabemos que a soma dos calores trocados deve ser zero. Assim:

$m_{cilindro}*c_{cilindro}*(20-T)+m_{agua}*c_{agua}*(20-19)=0$

Onde $T$ se trata da temperatura pdida. Assim, $T=50$ $^{\circ}C$

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Gabarito

$T=50$ $^{circ}C$

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Questão 11 (Exclusiva para o primeiro ano):

Fernando está parado nas margens de um lago observando o movimento de um barco, de comprimento de $2,0$ $m$ , que se desloca para a sua esquerda. Em determinado instante, a partir da parte central do barco, um marinheiro lança verticalmente para cima uma bola que alcança a altura de $5,0$ $m$ . Fernando constata que a bola ao descer, bate na ponta direita do barco (atrás do barco). No momento que a bola foi lançada, o barco estava com uma velocidade igual a $2,0$ $m/s$ . Qual a aceleração média desenvolvida pelo barco? Despreze a resistência do ar ou a resistência da água.

Assunto abordado

Cinematica

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Solução

Sabemos que o tempo de subida sera dado por:

$T=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Onde $h=5,0$ $m$ , assim $T=1,0s$ . E o tempo total de voo sera $2T=2,0s$ .

Nesse tempo, a bola ira percorrer uma distancia $D=v_{x}*2T=4,0$ $m$ .

E o barco uma distancia de $L=5,0$ $m$ , ja que a bola sai do frente do barco e bate em seu fundo.

Assim:

$L=v_{x}*2T+a(2T)^{2}/2$

Assim, obtemos que a aceleracao $a$ devera ser de $0,5$ $m/s^{2}$ .

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Gabarito

$0,5$ $m/s^{2}$

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Questão 12:

Um recipiente cilíndrico, de área de secção reta de $300$ $cm^{2}$ contém $3$ moles de gás ideal diatômico ( $C_{v} = 5R/2$ ) que está à mesma pressão externa. Este recipiente contém um pistão que pode se mover sem atrito e todas as paredes são adiabáticas, exceto uma que pode ser retirada para que o gás fique em contato com uma fonte que fornece calor a uma taxa constante (veja figura 4). Num determinado instante o gás sofre um processo termodinâmico ilustrado no diagrama $PV$ abaixo e o pistão se move com velocidade constante de $16,6$ $mm/s$ .

a) Qual foi a variação de temperatura do gás depois de decorridos $50$ $s$ ?

b) Obtenha a quantidade de calor transferida ao gás durante esse intervalo de tempo.

Assunto abordado

Termodinamica

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Solução

a) Como $PV=nRT$ , sabemos que $\delta_{T}=\frac{P\delta_{V}}{nR}$ , e como $\delta_{V}=A*v*\delta{T}$ , obtemos que:

$\delta_{T}=100$ $K$ .

b) Sabemos que o calor pedido sera:

$Q=nC_{P}\delta_{T}$

E como $C_{P}=C_{V}+R=7R/2$ . Temos que:

$Q=7nR\delta_{T}/2=8715$ $J$

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Gabarito

a) $\delta_{T}=100$ $K$ .

b) $8715$ $J$

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Questão 13:

Um paralelepípedo B está sobre um plano horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre eles vale $\mu$ . Um fio inextensível e sem peso é preso a ele e, passando por uma polia, é ligado a um outro corpo A que está pendurado. Sobre o bloco B encontra-se um carro, como mostra a figura 5. Este carro é acelerado de maneira que o corpo A sobe com velocidade constante. Considerando que as massas dos corpos A, B e do carro são iguais, determine:

a) o sentido da aceleração do carro. Justifique.

b) o valor desta aceleração em função de $\mu$ e da aceleração da gravidade $g$ .

Assunto abordado

Atrito

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Solução

a) Para A subir com velocidade constante, deve haver uma forca que empurra o bloco B a esquerda. E essa forca se origina com o movimento do carro a direita.

b) Sabemos que a tracao no fio devera ser igual ao peso de A, assim:

$T=mg$

Tambem sabemos que a forca de atrito de B com o chao é:

$F_{at}=N\mu=2mg\mu$

Assim, para o bloco B se mover velocidade constante, o carro deve ser empurrado com uma froca $F$ tal que:

$F=T+F_{at}=mg(1+2\mu)$

Assim, como $F=ma$ , temos:

$a=g(1+2\mu)$

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Gabarito

a) Acima

b) $a=g(1+2\mu)$

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Questão 14:

Em uma região cuja temperatura ambiente é de $27$ $^{\circ}C$ e a pressão é de $1$ $atm$ , existe um lago. Se uma bolha de ar de $14$ $cm^{3}$ é produzida a uma profundidade de $40$ $m$ neste lago, cuja temperatura a esta profundidade é $5$ de $7$ $^{\circ}C$ , qual será o volume (em $cm^{3}$ ) desta bolha ao chegar à superfície do lago? Considere que o ar é um gás ideal.

Assunto abordado

Gases ideais

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Solução

Sabemos que a quantia $PV/T$ se conserva, assim usando que a pressao no fundo do lago é $P=P_{atmosferica}+\rho gh=5$ $atm$ .

Assim, obtemos que o volume final é de $75$ $cm^{3}$

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Gabarito

$75$ $cm^{3}$

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Questão 15 (Exclusiva para o primeiro ano):

Uma longa avenida tem onze semáforos sincronizados. A distância entre eles é de $200$ $m$ , exceto a distância entre o primeiro e o segundo semáforo, que é menor. Cada semáforo fica verde durante $30$ $s$ e está sincronizado de forma que cada um deles abre (isto é, permite a passagem) $10$ segundos após o anterior ficar verde. Suponha que um motorista queira trafegar, a partir do segundo semáforo, com uma velocidade constante $v_{m}$ , que é a média entre a velocidade máxima e mínima que permite o veículo atravessar a avenida sem parar em nenhum semáforo. Inicialmente o veiculo está parado no primeiro semáforo, mas no instante em que este sinal fica verde ele se move com aceleração constante até atingir o segundo semáforo com velocidade $v_{m}$ no momento em que este está abrindo.

a) Qual é o valor desta aceleração?

b) Qual é a distância entre o primeiro e o segundo semáforo?

Assunto abordado

Cinematica

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Solução

a) Entre o primeiro e segundo semaforo, a velocidade varia da forma:

$v=v_{0}+at$

Sabemos que o ultimo semaforo, vai abrir em $t=90$ $s$ e fechar em $t'=120$ $s$ . Tambem sabemos, que a distancia entre o ultimo semaforo e o segundo é $1800$ $m$ .

Assim, a velocidade maxima é tal que o trajeto é completo em tempo $t$ , assim a velocidade maxima é $20$ $m/s$ . Ja a velocidade minima ocorre quando o trajeto é completo com tempo $t'$ , assim a velocidade minima é $15$ $m/s$ .

Dessa forma a velocidade media é de $17,5$ $m/s$ . E a aceleracao é tal que:

$a=v/t=1,75$ $m/s^{2}$

Note que o carro acelera por $10$ $s$ apenas.

b) Usando que a distancia percorrida acelerando sera:

$X=at^{2}/2$

Temos que $X=87,5$ $m$

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Gabarito

a) $1,75$ $m/s^{2}$

b) $87,5$ $m$

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Questão 16:

Um trem de ondas sofre refração ao passar do meio 1 para o meio 2. A figura 6 mostra algumas frentes de onda num determinado instante. A freqüência e a velocidade das ondas no meio 1 são respectivamente $400$ $H$ z e $200\sqrt{2}$ $m/s$ . Qual o comprimento de onda das ondas no meio 2?