OBF 2008 - Terceira Fase (Nível 3)

Escrita por Thomas Bergamaschi

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Questão 01:

Duas placas de madeira são interligadas em uma extremidade de maneira a permanecerem sempre perpendiculares. São presas polias nestas placas e por elas passam um fio leve, flexível e inextensível que em suas extremidades sustentam massas iguais a $30$ $kg$ que escorregam sobre as placas. As placas podem girar em torno do ponto O conforme o desenho abaixo. Para que ângulo(s) $\theta$ a aceleração dos corpos é máxima? Determine a tensão no fio para cada caso. Despreze a inércia das polias e o atrito das massas com as placas.

Assunto abordado

Planos inclinados

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Solução

Seja a tracao no fio $T$ . Assim, no corpo da esquerda:

$ma=mgsin\theta -T$

E no da direita:

$ma=T-mgcos\theta$

Assim, a=\frac{g(sin\theta -cos\theta)}{2}.

Para maximizar $a$ , o angulo deve ser ou $0$ ou $90$ de modo que o modulo da aceleracao é de $5m/s^{2}$ . E em ambos os casos a tracao $T$ vale $T=150$ $N$ .

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Gabarito

$\theta=0$ ou $\theta=90$ . A tracao vele $150$ $N$

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Questão 02:

Em uma das extremidades de uma mola ideal de comprimento de repouso $L$ , é presa uma plataforma, enquanto que outra extremidade é presa ao solo e o conjunto é colocado na posição vertical. Tanto a mola quanto a plataforma tem massas desprezíveis. Um objeto de massa $m$ é deixado simplesmente apoiado sobre a plataforma e o conjunto é levado lentamente até sua posição de equilíbrio e $x$ (veja figura 2). A mola é então comprimida de $x_{0}$ e solta a seguir. O sistema passa a oscilar em MHS com freqüência angular $\omega$ desde que a massa permaneça presa à plataforma. Contudo, dependendo de $\omega$ e de $x_{0}$ , o corpo pode perder contato com a plataforma e ser atirado para cima.

a) Determine o menor valor de $x_{0}$ (em função de $\omega$ ) que permite que o objeto se desprenda da plataforma e seja lançado para cima.

b) Verifique se o objeto é lançado para cima se $\omega =10$ $rad/s$ e $x_{0} =15$ $cm$ . Em caso afirmativo, determine a altura, em relação ao ponto de equilíbrio, que o objeto alcança.

Assunto abordado

Energia potencial elastica

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Solução

a) Para se despreender a normal entre o bloco e a plataforma deve ser zero. Para isso, a aceleracao maxima da plataforma $x_{0}\omega^{2}$ devera ser igual a gravidade. Assim:

$x_{0}=g/\omega^{2}$

b) Para se despreender $x_{0}>g/\omega^{2}$ , neste caso, isso ocorre e a massa se despreende da plataforma.

Por conservacao de energia, a energia inicial é:

$E_{0}=m\omega^{2}x_{0}^{2}/2$

E como o bloco se despreende em $x=g/\omega^{2}$ , sabemos que nesse ponto a massa tera energia cinetica:

$K=m\omega^{2}(x_{0}^{2}-x^{2})/2$

E toda essa energia sera convertida em energia potencial gravitacional, de modo que a massa subira uma altura $h$ , tal que:

$h=K/(mg)=\omega^{2}(x_{0}^{2}-x^{2})/(2g)$

E como a altura pedida é $H=h+x$ , temos que:

$H=\frac{g}{2\omega^{2}}+\frac{\omega^{2}x_{0}^{2}}{2g}$

Assim, $H=16,25$ $cm$ .

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Gabarito

a) $x_{0}=g/\omega^{2}$

b) $H=16,25$ $cm$ .

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Questão 03:

Um recipiente cilíndrico, de área de secção reta de $300$ $cm^{2}$ contém $3$ moles de gás ideal diatômico ( $C_{v} = 5R/2$ ) que está à mesma pressão externa. Este recipiente contém um pistão que pode se mover sem atrito e todas as paredes são adiabáticas, exceto uma que pode ser retirada para que o gás fique em contato com uma fonte que fornece calor a uma taxa constante (veja figura 4). Num determinado instante o gás sofre um processo termodinâmico ilustrado no diagrama $PV$ abaixo e o pistão se move com velocidade constante de $16,6$ $mm/s$ .

a) Qual foi a variação de temperatura do gás depois de decorridos $50$ $s$ ?

b) Obtenha a quantidade de calor transferida ao gás durante esse intervalo de tempo.

Assunto abordado

Termodinamica

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Solução

a) Como $PV=nRT$ , sabemos que $\delta_{T}=\frac{P\delta_{V}}{nR}$ , e como $\delta_{V}=A*v*\delta{T}$ , obtemos que:

$\delta_{T}=100$ $K$ .

b) Sabemos que o calor pedido sera:

$Q=nC_{P}\delta_{T}$

E como $C_{P}=C_{V}+R=7R/2$ . Temos que:

$Q=7nR\delta_{T}/2=8715$ $J$

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Gabarito

a) $\delta_{T}=100$ $K$ .

b) $8715$ $J$

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Questão 04:

Duas ondas harmônicas, de mesma freqüência $f$ e comprimento de onda $\lambda$ , se propagam com velocidade $v$ . Em um determinado instante cada uma delas incide, em fase, sobre um meio onde suas velocidades são respectivamente $v_{1}=2v/3$ e $v_{2}=v/2$ . Após percorrerem uma distância $d$ dentro destes meios as ondas emergem para o meio onde sua velocidade é $v$ e, em seguida, se superpõem em um ponto P que está a uma grande distância $l$ dos meios. Supondo que $f$ , independente do meio, permaneça constante, forneça três possíveis valores de $d$ , em função de $\lambda$ , para que em P haja uma interferência destrutiva.

Assunto abordado

Ondulatoria

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Solução

No meio inicial devemos ter a relação $v = \lambda f$ . No meio i, esta relação será:

$v= f_{i}\lambda_{i}$

Onde f não é alterado na passagem entre os meios. Dividindo estas equações, tem-se a relação:

$v/v_{i}=n_{i}$

Assim, $n_{1}=1,5$ e $n_{2}=2,0$ .

Assim, a diferenca de fase das duas ondas é:

$\delta=\frac{2\pi d}{\lambda}(n{2}-n{1}=\frac{d\pi}{\lambda}$

Para interferencia destrutiva $\delta=\pi (2m+1)$ onde $m = 0,1,2 ...$ .

Assim:

$d=(2m+1)\lambda$

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Gabarito

$d=(2m+1)\lambda$

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Questão 05:

Um objeto é construído por duas semi-esferas concêntricas de vidro de raios $r$ e $R = 2r$ e de índices de refração $n_{1}$ e $n_{2}$ , conforme a figura 5. Faz-se incidir sobre a superfície de raio menor um feixe estreito de luz apontado para o centro $O$ , a uma altura $x$ do eixo central. O feixe sofre refração e sai pela superfície da semi-esfera maior em um ponto de altura $y = x$ , abaixo do eixo central. Um segundo objeto é construído de forma semelhante, mas com índices de refração trocados, isto é a semi-esfera de raio menor tem índice de refração $n_{2}$ e a de raio maior tem índice $n_{1}$ .

a) Qual é a relação entre $x$ e $y$ para este segundo objeto?

b) Para qual dos objetos existe um valor de $x$ acima do qual o feixe incidente é totalmente refletido na interface entre os dois meios? Determine esse valor, expressando em função de $r$ .

Assunto abordado

Optica

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Solução

Seja $a$ o angulo que o raio faz com a normal na semiesfera menor, e $b$ na semiesfera maior.

Pela lei de Snell, $n_{1}sina=n_{2}sinb$ . E como $x=rsina$ e $y=Rsinb=2rsinb$ , usamos $x=y$ e encontramos que $2n_{1}=n_{2}$ .

a) Novamente pela lei de Snell, so que trocando $n_{1}$ por $n_{2}$ e vice versa temos:

$n_{2}x/r=n_{1}y/(2r)$

Assim, com $2n_{1}=n_{2}$ , obtemos que $y=4x$ .

b) Para reflexao total:

$n_{2}x/r=n_{1}$

Assim, $x=r/2$ .

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Gabarito

a) $y=4x$

b) $x=r/2$

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Questão 06:

Um espelho, pendurado ao teto por um fio que passa por seu eixo central, forma um pêndulo de torção que oscila segundo a equação $\alpha(t)=\alpha_{0}sin(\omega t+\phi)$ (o sentido positivo de rotação é indicado na figura 6). Um feixe de luz (proveniente de um laser) perpendicular ao fio incide sobre o centro do espelho e a luz refletida atinge uma tela cilíndrica, cujo eixo coincide com o fio e tem raio de curvatura de $1$ $m$ . No instante em que a torção no fio é nula, o feixe de luz forma um ângulo $\theta=\pi /20$ com a normal ao espelho e, em frente ao espelho, na direção de sua normal, existe um detector que emite um sinal toda vez que o raio de luz refletido pelo espelho, o atinge. Sabe-se também que o detector está fixo e localizado na posição em que o raio refletido na tela atinge um de seus extremos de oscilação. O gráfico sinal (S) $X$ tempo ( $t$ ) é mostrado na figura 7.

Assunto abordado

Ondulatoria

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Solução

a) Sabemos que a relacao entre $\alpha_{0}$ e $\theta$ é simplesmente:

$\alpha_{0}=\theta/2=\pi/40$ $rad$

Ja que o feixe refletido atinge o detetor quando o espelho está formando um ângulo de máxima deflexão, $\alpha_{0}$ , em relação à sua posição de repouso.

Pelo grafico do sinal pelo tempo, obtemos que o periodo $T=0,4$ $s$ , assim:

$\omega=2\pi /T=5\pi$ $rad/s$

Sabemos que em $t=0,1$ $s$ , temos um maximo de sinal, e no caso $\alpha=-\alpha_{0}$ , de modo que $\phi=\pi$ .

b) A imagem sera:

$x=(2\alpha)r=\frac{\pi}{20}sin(5\pi t+\pi)$

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Gabarito

a) $\alpha_{0}=\pi/40$ $rad$ , $\omega=5\pi$ $rad/s$ e $\phi=\pi$ .

b) $x=\frac{pi}{20}sin(5\pi t+\pi)$

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Questão 07:

Um corpo, eletricamente neutro e de massa $m$ , atravessa com velocidade constante $v_{0}$ uma região onde existe um campo elétrico uniforme $E$ , perpendicular à sua direção de propagação. Ao atingir o ponto A o corpo explode em dois fragmentos de mesma massa. O primeiro fragmento mantém a mesma direção e sentido do movimento original, sendo o módulo de sua velocidade o triplo da velocidade inicial, e penetra uma região onde há um campo magnético uniforme $B$ , perpendicular à sua direção de movimento e cujo sentido é mostrado na figura. Este fragmento, após um breve intervalo de tempo, se choca com o ponto P, a uma distância $d$ do ponto onde ele entrou. Considerando que, após a explosão, as únicas forças que atuam sobre os fragmentos são aquelas devido aos campos $E$ e/ou $B$ (ou seja, ignore qualquer força gravitacional ou qualquer interação entre os fragmentos), escreva a equação da trajetória $y = y(x)$ do segundo fragmento a partir do momento em que ele entra na região onde existe um campo.

Assunto abordado

Eletromagnetismo

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Solução

Pela regra da mao esquerda, sabemos que a carga da particula que penetra o campo magnetico é negativa, e como essa particula faz uma trajetoria circular de raio $r=d/2$ podemos achar o modulo da carga da particula ja que:

$r=\frac{m/2*3v_{0}}{qB}$

Assim, $q=3mv/(dB)$ .

Agora, por conservacao de momento, sabemos que a segunda particula volta a regiao de campo eletrico com velocidade $u=-v_{0}$ . E por conservacao de carga, a carga dessa particula deve ser positiva. Assim, ela sofrera uma forca eletrica tal que:

$\frac{ma}{2}=Eq$

Assim, as equacoes horarias sao:

$x=-v_{0}t$

$y=\frac{3Ex^{2}}{dBv}$

Desse modo:

$y(x)=-\frac{3Ex^{2}}{dBv}$

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Gabarito

$y(x)=-\frac{3Ex^{2}}{dBv}$

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Questão 08:

Uma lâmpada de hidrogênio ilumina uma célula fotoelétrica cuja função trabalho é de $2,656$ $eV$ $. Na frente da célula há um filtro que permite a passagem apenas de luz visível. Portanto, o filtro permitirá a incidência somente das três primeiras linhas de mais baixa energia da série de Balmer (série cuja transição entre níveis de energia tem como nível inferior $n = 2$ ). Sabendo-se que a energia do hidrogênio é dada por $E_{n}=-\frac{13,6}{n^{2}}$ $eV$ , determine