OBF 2009 - Terceira Fase - Nível 3

Escrita por Levy Bruno Batista

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Questão 01:

a) Um aro circular de raio $R$ e massa $m$ uniformemente distribuída, rola sem deslizar, em movimento uniforme, sobre um plano horizontal, como mostra a figura 1.

Considerando que o movimento do aro pode ser descrito pela composição do movimento retilíneo uniforme do seu centro de massa combinado com um movimento de rotação uniforme em relação a este mesmo ponto, determine, em função de $m$ e $V$ , a energia cinética total do aro.

b) Com dois aros idênticos ao do item anterior e uma haste rígida de comprimento $L$ e massa desprezível, construiu-se um carretel cujo esboço é apresentado abaixo na figura 2. Os raios que dão sustentação à haste, ligando-a rigidamente aos aros não foram apresentados e suas massas são desprezíveis, também. Considere que o carretel encontra-se, inicialmente, em movimento uniforme com velocidade $V$ sobre um plano horizontal e após um certo tempo começa a subir um plano inclinado. A figura 3 mostra um corte transversal dos planos e do carretel.

Determine a altura máxima que a haste atinge em relação ao plano horizontal, quando o carretel atinge velocidade nula. Determine também a desaceleração sofrida pelo carretel durante a subida. Expresse seus resultados em função de variáveis escolhidas dentre as grandezas $m, V, R, L$ e $g$ (aceleração da gravidade).

Assunto abordado

Dinâmica do corpo rígido

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Solução

a) A energia cinética total de um corpo rígido (extenso) é dada pela soma das energias de translação do centro de massa e de rotação. Portanto:

$E_{cin}=E_{transl}+E_{rot}$

$E_{cin}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{I\omega^{2}}{2}$

$E_{cin}=\frac{mV^{2}}{2}+\frac{(mR^{2})\omega^{2}}{2}$

$E_{cin}=2\frac{mV^{2}}{2}$

$E_{cin}=mV^{2}$

b) Conservando a energia do carretel, desde o ponto em que este inicia a subida no plano até o momento que para:

$2E_{cin}+2mgR=2mgH$

$2mV^{2}+2mgR=2mgH$

$H=R+\frac{V^{2}}{g}$

Por outro lado, para acharmos a desaceleração do carretel, existe duas principais formas de proceder: por Dinâmica, esquematizando todas as forças que agem no sistema, ou por Energia, que é a forma da qual iremos fazer a solução. Portanto, considerando que em um instante qualquer da subida, a velocidade da carretel seja $v$ e este esteja a uma altura $h$ do solo, temos:

$E_{tot}=2mv^{2}+2mgh=2mV^{2}+2mgR$

Derivando em relação ao tempo a equação acima, considerando que $\frac{dE_{tot}}{dt}=0$ (conservação de energia):

$0=4mv\frac{dv}{dt}+2mg\frac{dh}{dt}$

$2va+gvsen(\alpha)=0$

$a=-\frac{gsen(\alpha)}{2}$

Onde $\alpha$ é o ângulo de inclinação do plano em relação a horizontal (apesar de não ser uma variável dada no enunciado, o valor da desaceleração depende de $\alpha$ ). Observe também que as variáveis $m$ e $L$ não foram utilizadas.

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Gabarito

a) $E_{cin}=mV^{2}$

b) $H=R+\frac{V^{2}}{g}$

$a=-\frac{gsen(\alpha)}{2}$

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Questão 02:

Uma pequena esfera metálica de massa $m$ foi abandonada juntamente com uma bola de borracha de massa $M$ , esférica, de raio $R$ , conforme a figura 4.

A massa $M$ é muito menor que $m$ e o volume da esfera metálica é desprezível quando comparado ao da bola de borracha. Considerando que: os movimentos dos centros de massa da esferinha e da bola estão sempre na mesma vertical; o sistema se choca contra o solo e todos os choques envolvidos são perfeitamente elásticos; a distância na vertical percorrida pela esferinha é muito maior que a deformação da bola de borracha; é desprezível a resistência do ar em questão, determine:

a) A velocidade aproximada com que a esferinha se separa da bola na subida.

b) A distância vertical percorrida pela esferinha na subida em função da distância percorrida pela mesma, na descida.

Assunto abordado

Colisões

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Solução

a) Quando $M$ se choca com o solo, sua velocidade inverte o sentido, sem alterar o módulo. considerando que essa velocidade seja $V$ , e que as velocidades de $m$ e $M$ após a colisão sejam, respectivamente, $V_{1}$ e $V_{2}$ , temos:

Conservação do momento linear

$MV-mV=mV_{1}+MV_{2}$

Por outro lado, como a colisão é elástica, temos $e=1$ :

$e=\frac{V_{1}-V_{2}}{2V}=1$

$V_{2}=V_{1}-2V$

Substituindo essa relação na expressão da conservação do momento linear:

$MV-mV=mV_{1}+M(V_{1}-2V)$

$(m+M)V_{1}=(3M-m)V$

$V_{1}=\frac{3M-m}{m+M}V$

Considerando que $M>>>m$ :

$V_{1}\approx 3V$

b) Tomando $H$ como a altura que a esferinha sobe após a colisão e $h$ como a altura que ela despenca antes da colisão, temos:

$V_{1}=\sqrt{2gH}$

$V=\sqrt{2gh}$

Daí:

$H=9h$

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Gabarito

a) $V_{1}=\frac{3M-m}{m+M}V\approx 3V$

b) $H=9h$

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Questão 03:

A figura 5 mostra uma célula unitária cúbica de um cristal de cloreto de sódio, com aresta $a = 5,6*10^{-10} m$ .

a) Determine a densidade volumétrica de carga elétrica positiva, em $\frac{C}{cm^{3}}$ , devida ao íon Na+, lembrando que a carga elementar é $1,6*10^{-19} C$ .

b) Considere duas cargas puntiformes de mesmo módulo, uma positiva e outra negativa, separadas por $0,5 cm$ , inicialmente em repouso. O módulo de cada carga é igual a quantidade de carga contida em um $cm^{3}$ na resposta do item anterior. Determine a energia necessária para separar estas cargas a uma distância infinita.

Assunto abordado

Eletrostática

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Solução

a) Pela figura 5, note que há 13 íons sódio (bolinhas vermelhas) em um cristal cúbico de lado $a$ . Portanto:

$\rho=\frac{13*1,6*10^{-19}}{(5,6*10^{-8})^{3}}$

$\rho=1,2*10^{4} \frac{C}{cm^{3}}$

b) A energia necessária é igual a diferença de energia das configurações final e inicial do sistema. Logo:

$E=0-\frac{Kq(-q)}{d}$

$E=\frac{Kq^{2}}{d}$

Lembrando que $q=\rho_V=1,2*10^{4} C$

$E=\frac{9*10^{9}*(1,2*10^{4})^{2}}{5*10^{-3}}$

$E=2,6*10^{20}\approx 3*10^{20} J$

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Gabarito

a) $\rho=1,2*10^{4} \frac{C}{cm^{3}}$

b) $E=2,6*10^{20}\approx 3*10^{20} J$

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Questão 04:

Duas placas condutoras, planas, paralelas, quadradas de lado $d$ , separadas por uma distancia $a$ muito menor que $d$ , estão dispostas isoladamente formando um capacitor plano. Uma das placas é aterrada e a outra é ligada por fio condutor a uma esfera condutora de raio $R$ . A figura 6 mostra um esboço desse sistema.

Uma carga elétrica $Q$ , positiva, foi colocada na placa superior do capacitor. Na situação de equilíbrio eletrostático, considere o meio entre as placas como sendo o vácuo, que os efeitos de borda são desprezíveis, bem como a intensidade do campo elétrico de um elemento (esfera, capacitor ou terra) sobre qualquer outro. Determine:

a) A fração de $Q$ que permanece na placa superior.

b) A intensidade do campo elétrico a uma distância $2R$ do centro da esfera. Expresse seus resultados como função das grandezas citadas no enunciado e constantes universais quando for o caso.

Assunto abordado

Eletrostática

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Solução

a) Na situação de equilíbrio eletrostático, o potencial da esfera deve ser o mesmo da placa superior do capacitor, a qual está conectada à esfera por um fio condutor, havendo, portanto, uma transferência de carga por este e, consequentemente, uma indução de carga na placa aterrada. Logo, tomando como $Q_{1}$ a carga na esfera e $Q_{2}$ a carga na placa na situação de equilíbrio, temos:

$\frac{KQ_{1}}{R}=\frac{Q_{2}}{C}$

Porém $K=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}$ , $C=\frac{\varepsilon_{0}d^{2}}{a}$ . Ou seja:

$\frac{Q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q_{2}a}{\varepsilon_{0}d^{2}}$

$Q_{1}=\frac{4\pi Ra}{d^{2}}Q_{2}$

E como $Q_{1}+Q_{2}=Q$ :

$\frac{Q_{2}}{Q}=\frac{1}{1+\frac{4\pi Ra}{d^{2}}}$

b) Pela definição de campo elétrico:

$E=\frac{KQ_{1}}{(2R)^{2}}$

Por outro lado, pelo item anterior, temos:

$Q_{1}=\frac{4\pi Ra}{d^{2}+4\pi Ra}Q$

Daí:

$E=\frac{aQ}{4\varepsilon_{0}R(d^{2}+4\pi Ra)}$

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Gabarito

a) $\frac{Q_{2}}{Q}=\frac{1}{1+\frac{4\pi Ra}{d^{2}}}$

b) $E=\frac{aQ}{4\varepsilon_{0}R(d^{2}+4\pi Ra)}$

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Questão 05:

Um fóton de freqüência $f$ possui uma massa inercial efetiva $m= energia/c$ , onde $c$ é a velocidade da luz. Um fóton emitido na superfície de uma estrela quando escapa do campo gravitacional perde energia diminuindo sua freqüência, considerando que massa inercial é igual a massa gravitacional. Levando em conta a variação de energia potencial gravitacional do sistema estrela-fóton, determine uma expressão para a variação relativa da freqüência do fóton ao abandonar a estrela, $\Delta f/f$ , em função de $M, R, G$ e $c$ , onde $M$ e $R$ são, respectivamente, a massa e o raio da estrela, e $G$ a constante de gravitação universal.

Assunto abordado

Energia, Noções de Física Moderna

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Solução

Na superfície da estrela, a energia é:

$E_{0}=-\frac{GMm}{R}+hf$

E, como $m=\frac{hf}{c^{2}}$ , temos:

$E_{0}=-\frac{GMhf}{Rc^{2}}+hf$

$E_{0}=hf(1-\frac{GM}{Rc^{2}})$

Porém, quando o fóton escapar da influência da estrela, sua energia será:

$E=hf'$

Conservando a energia:

$E_{0}=E$

$f'=f(1-\frac{GM}{Rc^{2}}$

$f-f'=\frac{GM}{Rc^{2}}f$

$\frac{\Delta f}{f}=\frac{GM}{Rc^{2}}$

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Gabarito

$\frac{\Delta f}{f}=\frac{GM}{Rc^{2}}$

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Questão 06:

A figura abaixo mostra duas placas homogêneas de faces paralelas, que servem como meio condutor de calor entre dois reservatórios térmicos de temperaturas $T_{1} = 100 ^{o}C$ e $T_{2} =200 ^{o}C$ . As superfícies das placas transversais ao fluxo possuem áreas iguais a $A$ . Além disso, as placas têm espessuras $e_{1}$ e $e_{2}$ e são compostas por materiais de condutibilidade térmica $k_{1}$ e $k_{2}$ , respectivamente.

a) Determine o perfil de temperatura T(x), no interior das placas, considerando o regime de condução estacionário, $e_{2}=2e_{1}$ e $k_{2}=3k_{1}$ .

b) Na engenharia é comum introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a Lei de Fourier. A temperatura é vista como uma função potencial, para o fluxo de calor e a equação de Fourier assume a forma fluxo de calor= (diferença de potencial térmico)/(resistência térmica), que é semelhante a lei de Ohm na teoria dos circuitos elétricos. Defina, convenientemente, o que é resistência térmica neste contexto e determine a resistência térmica equivalente do sistema apresentado no item anterior.

Assunto abordado

Condução de calor

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Solução

a) O fluxo de calor $\phi$ é o mesmo para as duas partes da placa. Logo

$\phi=\frac{k_{1}S(T_{2}-T')}{e_{1}}=\frac{k_{2}S(T'-T_{1})}{e_{2}}$

$\frac{k_{1}(T_{2}-T')}{e_{1}}=\frac{3k_{1}(T'-T_{1})}{2e_{1}}$

$\frac{5}{2}T'=T_{2}+\frac{3}{2}T_{1}$

Ou seja:

$T'=\frac{2}{5}T_{2}+\frac{3}{5}T_{1}=140 ^{o}C$

Daí, T(x) é composto por duas funções distintas, uma pra cada região da placa. Logo:

$\phi=\frac{k_{1}S(T_{2}-T(x))}{x}$

$T(x)=-\frac{\phi}{k_{1}S}x+T_{2}$ $(0\leq x\leq e_{1})$

Da mesma forma:

$\phi=\frac{3k_{1}S(T'-T(x))}{x-e_{1}}$

$T(x)=-\frac{\phi}{3k_{1}S}(x-e_{1})+T'$ $(e_{1}\leq x\leq 3e_{1})$

b) Resistência térmica é a capacidade que o aparato tem de barrar, ou seja, "resistir" a passagem de fluxo de calor. A resistência térmica equivalente é, por definição:

$R_{T}=\frac{\Delta T}{\phi}$

E como:

$\Delta T_{1}=\frac{\phi e_{1}}{k_{1}S}$

$\Delta T_{2}=\frac{2\phi e_{1}}{3k_{1}S}$

Logo:

$\Delta T=\Delta T_{1}+\Delta T_{2}$

$\Delta T=\frac{\phi}{S}(\frac{e_{1}}{k_{1}}+\frac{2e_{1}}{3k_{1}})$

$\frac{\Delta T}{\phi}=R_{T}=\frac{5e_{1}}{3k_{1}S}$

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Gabarito

a) $T(x)=-\frac{\phi}{k_{1}S}x+T_{2}$ $(0\leq x\leq e_{1})$

$T(x)=-\frac{\phi}{3k_{1}S}(x-e_{1})+T'$ $(e_{1}\leq x\leq 3e_{1})$

$T'=140 ^{o}C$

b) Explicação sobre resistência térmica na Solução.

$R_{T}=\frac{5e_{1}}{3k_{1}S}$

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Questão 07:

Um objeto luminoso e uma tela de projeção estão situados a uma distância $L$ um do outro. Uma lente convergente de distância focal $f$ menor que $\frac{L}{4}$ é colocada entre a tela e o objeto de tal forma que a imagem do objeto é projetada na tela. Verifique que existem duas posições possíveis para a lente, separadas por uma distância $a$ .

a) Determine a em função de $L$ e $f$ .

b) Determine a razão entre os aumentos lineares transversais correspondentes às duas posições possíveis para a lente, em função de $L$ e $a$ .

Assunto abordado

Óptica geométrica

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Solução

a) Aplicando a Equação de Gauss, tendo em mente que $p+p'=L$ :

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}$

$\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{L-p}$

$fL=p(L-p)$

$p^{2}-Lp+fL=0$

$\Delta p=a=\frac{2\sqrt{L^{2}-4fL}}{2}$

$a=L\sqrt{1-4\frac{f}{L}}$

b) Da equação do segundo grau do item anterior, temos:

$p_{1}=\frac{L}{2}(1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}})$

$p'_{1}=\frac{L}{2}(1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}})$

Por outro lado, as posições do objeto e da imagem na segunda configuração possível serão, respectivamente:

$p_{2}=p'_{1}$

$p'_{2}=p_{1}$

Daí, aplicando a definição de aumento linear transversal, isto é, $A=-\frac{p'}{p}$ :

$\frac{A_{2}}{A_{1}}={\frac{p_{1}}{p'_{1}}}^{2}$

$\frac{A_{2}}{A_{1}}=\bigg( \frac{1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}}}{1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}}} \bigg)^{2}$

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Gabarito

a) $a=L\sqrt{1-4\frac{f}{L}}$

b) $\frac{A_{2}}{A_{1}}=\bigg( \frac{1+\sqrt{1-4\frac{f}{L}}}{1-\sqrt{1-4\frac{f}{L}}} \bigg)^{2}$

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Questão 08:

Uma bolha de sabão de índice de refração $n=1,33$ é iluminada com luz de comprimento de onda de $600$ $nm$ . Considerando o caso de incidência normal, determine as três menores espessuras para que os feixes refletidos sofram interferência construtiva.

Assunto abordado

Óptica física

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Solução

Suponha dois raios, 1 e 2, tal que o raio 1 atravessa a película de sabão e é refletido na segunda interface de separação sabão-ar, voltando para o ar e interferindo com o raio 2, que incide sobre a primeira interface de separação sabão-ar. Sabendo que $n_{sab�o}>n_{ar}$ , o raio 1 não sofre inversão de fase, logo, a condição para interferência construtiva é: