OBF 2010 - Terceira Fase (Nível 1)

Movimento circular uniforme

a) Inicialmente, devemos calcular a distancia ($D$) percorrida pelo objeto em função do número de voltas. Para uma volta, é valido:

$\Delta S=2 \pi R_{terra}$ $\rightarrow$ $\Delta S=3,84*10^{7}$ $m \approx 3,8*10^{7}$ $m$

Para n voltas, então:

$D=n \Delta S$ $\rightarrow$ $D=3,84*10^{7}*n$ $m \approx 3,8*10^{7}*n$ $m$

Como é um movimento circular uniforme:

$D=c*\Delta t$ $\rightarrow$ $3,84*10^{7}*n=3*10^{8}*\Delta t$

Portanto:

$\frac{n}{\Delta t}=7,8125$ voltas por segundo $\approx 8$ voltas por segundo

b) Por ser um M.C.U, é válida a relação:

$c=\omega R_{terra}$

Logo:

$\omega=46,875$ $rad/s$ $\approx 5*10$  $rad/s$

c) Sabe-se que, no M.C.U, $\omega=2$π$f$, onde $f$ é a frequência, portanto:

$f= \frac{\omega}{6}$

$f= 7,8125$ $Hz$ $\approx 8$ $Hz$

a) $7.8125$ voltas por segundo $\approx 8$ voltas por segundo

b) $46.875$ $rad/s$ $\approx$ $5*10$ $rad/s$

c) $7.8125$ $Hz$ $\approx 8$ $Hz$

Análise Dimensional

É importante lembrar que as unidades fundamentais do S.I são: metro,segundo,ampere,candela,quilograma,mol e kelvin.

É importante saber que ao igualar duas grandezas físicas também deve-se igualar as suas dimensões, ou seja, as dimensões nos dois lados da lei da gravitação universal são iguais:

$[F]=\frac{[G][M]^2}{[L]^2}$

Onde os [ ] significam a dimensão da grandeza dentro dos mesmos. Pela segunda lei de Newton, sabemos que:

$[F]=[M][L][T]^{-2}$

Substituindo na lei da gravitação universal:

$[M][L][T]^{-2}=[G][M]^{2}[L]^{-2}$ $\rightarrow$ $[G]=[M]^{-1}[L]^{3}[T]^{-2}$

No S.I, então, a unidade de $G$ é:

$\frac{m^3}{kg*s^2}$

$\frac{m^3}{kg*s^2}$

Cinemática

a) A definição de velocidade média no eixo x entre dois instantes $t_{0}$ e t é:

$V_{media}=\frac{x_{t}-x_{t_{0}}}{t-t_{0}}$

Portanto, como x é o mesmo nos instantes $t=0$ $s$ e $t=8$ $s$:

$V_{media}=0$ $m/s$

b) No gráfico, observa-se que nesse intervalo de tempo a função é uma reta, portanto, para calcular o coeficiente angular (B):

$B=\frac{10-0}{2-0}$ $\rightarrow$ $B=5,0$ $m/s$

Para calcular o coeficiente linear (A), deve-se simplesmente observar que em $t=0$ $s$, $x=0$ $m$, portanto:

$A=0$ $m$

Com isso:

$x(t)=5,0t$

Onde $t$ está em segundos e $x$ em metros

a) $0$ $m/s$

b) $x(t)=5,0t$

Onde $t$ está em segundos e $x$ em metros

Lançamento horizontal

Um lançamento horizontal pode ser decomposto em dois movimentos independentes, um vertical e um horizontal, sabendo disso, pode-se utilizar as equações do M.R.U.V para o eixo y, pois este possui aceleração constante e de módulo igual a $10$ $m/s^{2}$. Tomando o solo como $Y=0$ e o sentido positivo do eixo $Y$ para cima:

$Y(t)=H-\frac{10t^2}{2}$ $\rightarrow$ $Y(t)=H-5t^2$

Fazendo $t=3$ $s$ $Y$ deve ser zero, logo:

$0=H-5*3^2$

Portanto:

$H=45$ $m$ $\approx 5*10$ $m$

$45$ $m$ $\approx 5*10$ $m$

Energia e Colisões

a) Para a resolução dessa questão é necessário lembrar que a energia potencial gravitacional deve ser escrita na forma:

$E_{pot}=mgh$ (O nivel de referencia tomado foi o solo)

Como 20% da energia do corpo é perdida a cada colisão, pode-se escrever:

$mgh_{n}=0,8*mgh_{n-1}$  $\rightarrow$ $h_{n}=0,8*h_{n-1}$

Portanto, as alturas estão em uma P.G de razão 0,8. Lembrando da fórmula para o n-ésimo termo de uma P.G, se obtém:

$h_{n}=10*(0,8)^{n}$

Pode-se então montar a tabela:

Logo, são necessárias $14$ colisões.

b) Sabe-se que após a terceira colisão a altura máxima obtida é de $5,12$ $m$, portanto, pela conservação da energia mecânica no movimento de subida:

$5,12*mg=\frac{mv^2}{2}$ $\rightarrow$ $v=\sqrt {102,4}$

Como a prova não forneceu valores para as raízes de 2 e 5, fatoraremos e racionalizaremos encontrando:

$v=3,2*\sqrt {10}$ $m/s$

a) $14$ colisões

b) $v=3,2*\sqrt {10}$ $m/s$

Conservação da energia

Para a resolução dessa questão deve-se lembrar que a energia potencial de uma mola deformada em $\Delta$x é dada por:

$E_{pot}=\frac{k\Delta x^2}{2}$

Como a questão diz para desconsiderar o efeito de qualquer tipo de atrito, pode-se afirmar que a energia mecânica do sistema irá se conservar, portanto:

$\frac{mv^2}{2}=\frac{k\Delta x^{2}}{2}$ $\rightarrow$ $\Delta x=v\sqrt\frac{m}{k}$

$\Delta x=v\sqrt\frac{m}{k}$

Calorimetria

a) Deve-se lembrar que o calor utilizado para elevar a temperatura de um corpo é denominado calor sensível e é calculado por:

$Q=mc \Delta T$

Onde m é a massa do corpo, c o calor específico e $\Delta$T a variação de temperatura, portanto, para a água do rio, precisamos primeiro calcular a massa de água no mesmo, como sabemos sua densidade e seu volume, isso se torna simples:

$m=d*v$ -> $m=1000*4,0*10^{11}$ $\rightarrow$ $m=4,0*10^{14}$ $kg$ 

Substituindo na fórmula para o calor sensível:

$Q=4,0*10^{14}*4190* 1$ $\rightarrow$ $Q=1,676*10^{18}$ $J$ $\approx 2*10^{18}$ $J$

b) A definição de potência, nesse caso, será:

$Pot=Q/ \Delta t$

Onde $\Delta$t é a variação do tempo. Dessa forma:

$\Delta t=\frac{Q}{Pot}$

Substituindo os valores:

$\Delta t=1,676*10^9$ $s$

Convertendo para anos:

$\Delta t=53,2$ $anos$ $\approx 5*10$ $anos$

a) $1,676*10^{18}$ $J$ $\approx 2*10^{18}$ $J$

b) $53,2$ $anos$ $\approx$$5*10$ $anos$

Energia

Apesar de envolver um conceito complexo, (a relatividade especial), essa questão torna-se simples quando você vê que a energia liberada será simplesmente a energia da massa de urânio que foi desintegrada, como sabemos que essa massa é de $10^{-3}$ $kg$, podemos afirmar:

$E=mc^2$ $\rightarrow$ $E=10^{-3}*(3*10^8)^2$

Portanto:

$E=9*10^{13}$ $J$

$9*10^{13}$ $J$