OBF 2012 - Terceira Fase (Nível 1)

Cinemática e queda livre

Primeiramente, devemos perceber que, para a régua estar calibrada, uma marcação de tempo específica deve estar a uma distância da extremidade inferior que corresponda à distância que a régua cai neste interval de tempo. Por exemplo, a marcação de 200 ms deve ser posicionada à distância do ponto da esquerda que a régua cai em 200 ms.

Para calcular esta distância, podemos utilizar a equação horária de movimento uniformemente acelerado:

$s = s_0 + v_0 t + \frac{{a t^2}}{2}$

Como a velocidade inicial é zero, e podemos considerar a posição inicial igual a 0, a equação se torna:

$s = \frac{{a t^2}}{2}$

A questão pede a distância que devemos colocar a marcação de 200 ms, ou seja, queremos a distância que a régua cai em 200 ms. Como ela está em queda livre, a aceleração é $g = 10\: m/s^2$. Dessa forma, podemos escrever:

$s = \frac{{10*0,2^2}}{2} = 0,2 m = 20 \,cm$

A distânica $s$ da marcação de 200 ms em relação ao ponto da esquerda é $s = 20 \,cm$, com um algarismo significativo como os dados do enunciado.

Hidrostática e empuxo

Para resolver essa questão, devemos comparar o empuxo exercido no cubo e na esfera. Como ambos objetos estão totalmente imersos em um mesmo fluido qualquer, e a gravidade assumimos que é a mesma, o empuxo $E_m$ só dependerá do volume de cada objeto, pela equação:

$E_m = \rho V g$

Ou seja, o objeto com maior volume sofrerá o maior empuxo. Como as áreas superficiais são iguais, podemos escrever:

$6 l^2 = 4 \pi R^2$

Onde $l$ é a medida do lado do cubo, e $R$ é o raio da esfera. Para comparer os volumes, optarei por escrever $l$ em função de $R$:

$l = R\sqrt{\frac{2 \pi}{3}}$

Escrevendo o volume de cada objeto:

$V_{cubo} = l^3 = \frac{2 \pi}{3}\sqrt{\frac{2 \pi}{3}}R^3$

$V_{esfera} = \frac{{4 \pi R^3}}{3}$

Para comparar o volume do cubo com o da esfera, podemos multiplicar o lado direito por $\frac{2}{\sqrt{4}}$, o que é equivalente a multiplicar por 1:

$V_{cubo} = \frac{4 \pi R^3}{3}\sqrt{\frac{2 \pi}{3*4}}$

Como $\frac{4 \pi R^3}{3}$ é o volume da esfera:

$V_{cubo} = V_{esfera}\sqrt{\frac{\pi}{6}}$

Pelo fato de $\sqrt{\frac{\pi}{6}}$ ser menor que 1 ($\approx 0,72$), o volume do cubo é menor que o da esfera, então o empuxo nele é menor. Dessa forma, o objeto que está sujeito ao maior empuxo é a esfera.

O objeto que está sujeito ao maior empuxo é a esfera, pois seu volume é maior se comparado ao do cubo.

Dilatação térmica e cálculo de volume

Primeiramente, a questão pede a relação entre as variações nos volumes após o equilíbrio térmico. Podemos desenvolver essa relação de algumas maneiras, como razões, desigualdades, etc. Nesta solução irei tratar das desigualdades.

Para resolver essa questão, um ponto crucial é a informação que o calor que os cilindros recebem são iguais. Dessa forma, como eles são feitos do mesmo material, a variação de temperature de cada cilindro é diferente:

$Q = m c \Delta T = \rho V c \Delta T$

$\frac{Q}{\rho V c} = \Delta T$

Percebemos assim que a variação de temperature é inversamente proporcional ao volume de cada cilindro, pois os outros termos são constantes.

Vamos chamar o cilindro da esquerda de cilindro 1, o do meio de cilindro 2, e o da direita de cilindro 3. Com isso, calculando os volumes:

$V_{10} = 3h*\frac{\pi h^2}{4} = \frac{3 \pi h^3}{4}$

$V_{20} = 2h*\pi h^2 = 2 \pi h^3$

$V_{30} = 4h*\frac{9 \pi h^2}{4} = 9 \pi h^3$

A variação de volume calculada utilizando o coeficiente de dilatação:

$\Delta V = 3 \alpha V_0 \Delta T$

Porém, como a variação de temperatura é inversamente proporcional ao volume, temos que:

$V \Delta T = \frac{Q}{\rho c} = constante$

Dessa forma, as variações de volume de todos os cilindros são iguais!

$\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V_3$

Poderíamos também chegar a este resultado encontrando a variação na área e altura dos cilindros para calcular a variação do volume, e iríamos encontrar um termo com $V \Delta T$, que é igual para todos os cilíndros, e outro termo que varia de cilindro para cilindro e proporcional a $\alpha^2$. Porém, este termo pode ser desprezado, pois a ordem de grandeza de $\alpha^2$ normalmente é em torno de $10^{-10}$, que é muito menor que os outros termos envolvidos.

$\Delta V_1 = \Delta V_2 = \Delta V_3$

Energia mecânica e conservação de energia

Para resolver essa questão, como todas as forças são conservativas e não há nenhuma forma de dissipação de energia, podemos conservar a energia nos pontos A e B para encontrar a velocidade em questão. Energia em A e B:

$E_A = mgR(1 - \cos 53^{\circ}) + \frac{m {v_A}^2}{2}$

$E_B = mgR(1 - \cos 37^{\circ}) + \frac{m {v_B}^2}{2}$

O termo $R(1 - \cos 53^{\circ})$ é a altura do objeto no ponto A, encontrado subtraindo o raio de curvatura da distância vertical entre o bloco e centro da circunferência (mesma lógica para o ponto B).

Assim, conservando energia, e utilizando o fato que $\sin 37^{\circ} = \cos 53^{\circ}$ (ângulos complementares):

$mgR(1 - \cos 53^{\circ}) + \frac{m {v_A}^2}{2} = mgR(1 - \cos 37^{\circ}) + \frac{m {v_B}^2}{2}$

${v_B}^2 = {v_A}^2 + 2gR(\cos 37^{\circ} - \cos 53^{\circ}) = 9 + 2*10*1,75*0,2 = 16$

$v_B = 4\,m/s$

$v_B = 4$ $m/s$

Energia mecânica e potencial

a) Pontos de retorno são pontos onde a partícula sujeita a um certo potencial muda o sentido de seu movimento. Para que a partícula mude o sentido do seu movimento, o sentido da sua velocidade precisa mudar, ou seja, o "sinal" de sua velocidade precisa ir de positivo para negativo ou vice-versa. Para que isso aconteça, a velocidade precisa em algum momento ser nula (a velocidade não pode ser descontínua, ela não pode simplesmente "pular" de um valor para outro). O ponto onde a velocidade é zero nessa inversão de movimento que chamamos de ponto de retorno. É só imaginar um objeto oscilando em uma mola: onde a amplitude é máxima, ele inverte o sentido do seu movimento, e a velocidade se torna zero nesse ponto. No ponto de retorno, toda energia mecânica do sistema é na forma de energia potencial (cinética é zero). Dessa forma, como a questão pede os pontos de retorno para uma energia mecânica de 1 J, precisamos encontrar os pontos onde a energia potencial é $1$ $J$. Se traçarmos uma reta horizontal que passa pelo ponto $U(x) = 1 \,J$, onde esta reta encostar no gráfico são os pontos de retorno, que neste caso são os pontos $x = -1,2 \,m$, e $x = 1,8 \,m$.

b) Se a energia mecânica é 5 Joules, para encontrar a velocidade máxima, precisamos fazer a energia potencial ser minima, pois $U(x) + E_{cinetica} = 5 \,J$. Neste gráfico, percebemos que a energia potencial minima é de $-5\,J$, então a energia cinética máxima é:

$E_{cinMax} - 5 = 5 \therefore E_{cinMax} = 10 \,J$

$\frac{m {v_{max}}^2}{2} = 10 \therefore {v_{max}}^2 = \frac{20}{50*10^{-3}} = 400$

$\left|v_{max}\right| = 20\,m/s$

a) Os pontos de retorno são $x = -1,2 \,m$, e $x = 1,8 \,m$.

b) $\left|v_{max}\right| = 20\,m/s$

Força resultante e roldanas

As forças que atuam no sistema homem + prancha são a componente do peso nesse sentido, e as forças que a corda e a roldana exercem. A componente do peso nessa direção, que chamaremos de $P_x$ é (negative pois adotamos ):

$P_x = -P*\sin 30^\circ = -1200*0,5 = -600 \,N$

Que é negativo pois adotamos o referencial de forma que ao longo da rampa para baixo é negativo, e para cima é positivo. As forças atuando no sentido oposto ao peso são (chamaremos de $F_x$ a força resultante neste sentido, e T a tensão no cabo):

$F_x = T + 2T = 600 \,N$

Isto acontece pois a tensão na corda é igual a força que o homem a puxa (ação e reação), então tem uma tensão atuando na mão do homem, e mais duas atuando na roldana, que consequentemente atuam na prancha, resultando em $600\,N$. Dessa forma, a força resultante ao longo do plano é:

$F_r = P_x + F_x = -600 + 600 = 0\,N$

Como a força resultante é nula, a aceleração ao longo do plano é zero.

A aceleração é zero.

Força resultante e roldanas

Para resolver essa questão, devemos perceber que a pessoa está em equilíbrio, ou seja, a força resultante atuante sobre ela é zero. A força resultante é composta pela normal $N$ da balança, o peso $P$ da pessoa, a força $F_2$ que o triângulo da imagem exerce na pessoa, e a tensão $F_1$ da corda do dinamômetro na pessoa. Adotando para baixo negativo e para cima positivo:

$F_1 + F_2 + N - P = 0 \,\,\therefore\,\, P = F_1 + F_2 + N$

Como $F_1$ equivale a leitura do dinamômetro (ação e reação), a tensão em toda a corda é $50\,N$. Cada roldana móvel realiza uma força igual a duas vezes a tensão na corda que passa por ela, então $F_2 = 4F_1$. Substituindo os valores:

$P = 50 + 200 + 550 = 800\,N$

$P = 800$ $N$

Cinemática

Para encontrar o gráfico da velocidade e aceleração em função do tempo, devemos descobrir como essas funções se comportam nos intervalos dados. No intervalo de $0 \leq t \leq 10$, temos que a função $s(t)$ é dada por:

$s(t) = t^2 + 100$

O termo $t^2$ caracteriza um movimento acelerado, da forma:

$s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2}$

Igualando a primeira equação à segunda:

$s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} = 100 + t^2$

Portanto, vemos que nesse intervalo, para satisfazer a igualdade, a aceleração é de $2 \,m/s^2$. Além disso, como $v_0 = 0$, a velocidade pode ser escrita como:

$v = a t = 2 t$.

Para o intervalo $10 \leq t \leq 30$, percebemos que não há nenhum termo quadrático do tempo, de forma que o movimento não é acelerado, e da forma:

$s = s_0 + v t = 20 t$

Portanto, temos que a velocidade em função do tempo nesse ultimo intervalo é constante e igual a $20 \,m/s$. Além disso, pelo fato do movimento não ser acelerado, a aceleração é de $0 \,m/s^2$. Dessa forma, Podemos agora escrever as funções da velocidade e aceleração:

$v(t) = \begin{cases} 2 t, & 0 \leq t \leq 10 \\ 20, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$

$a(t) = \begin{cases} 2, & 0 \leq t \leq 10 \\ 0, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$

Os gráficos da velocidade e aceleração estão representados abaixo, respectivamente:

$v(t)$:

$a(t)$:

$v(t) = \begin{cases} 2 t, & 0 \leq t \leq 10 \\ \,\,\,\,\,\,\,20, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$

$a(t) = \begin{cases} 2, & 0 \leq t \leq 10 \\ \,\,\,\,\,\,\,0, & 10 \leq t \leq 30 \end{cases}$

$v(t)$:

$a(t)$: