OBF 2013 - Terceira Fase (Nível 1)

Escrita por Paulo Kitayama

Você pode acessar a prova aqui

Questão 01:

Uma vitrola® era usada para tocar discos de vinil (então chamados LP, “long-play”). Seu prato consiste de um disco giratório, onde se posiciona o LP, que gira a $33$ RPM (rotações por minuto). Quando se desliga o aparelho o disco para após executar três rotações. Determine a aceleração angular do disco e o tempo que o disco leva até parar. Use $\pi = 3$ .

Assunto abordado

Cinemática - Movimento Circular

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Solução

O disco giratório está sendo desacelerado. Primeiramente, alteramos a unidade da velocidade angular inicial de rotações por minuto (RPM) para radianos por segundo (rad/s).

Sabendo que em uma rotação é equivalente a $2 \pi rad$ , tem-se que:

$\omega=33RPM=\frac{33(2 \pi)rad}{60s}=\frac{33 * 6}{60} \frac{rad}{s}=3.3 \frac{rad}{s}$

Usando então a equação de Torricelli, a aceleração angular pode ser obtida.

$\omega^2={\omega}_0^2+2 \alpha \Delta \varphi$

Onde $\varphi$ é a distância angular percorrida, equivalente ao espaço percorrido. Esta tem um valor de $6 \pi$ , visto que cada volta equivale a $2 \pi$ . Portanto, a aceleração angular é igual a:

$\alpha = -\frac{\omega_0^2}{2 \Delta \varphi}$

$\alpha = -\frac{3.3^2}{12 \pi}=0.30 \frac{rad}{s^2}$

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Gabarito

$\alpha = 0.30 \frac{rad}{s^2}$

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Questão 02:

Um pedaço de gelo de $0,30kg$ a $0^o C$ é colocado em um recipiente termicamente isolado contendo $2,0kg$ de água a $10^o C$ . Determine a temperatura e a composição final do sistema. Dados: calor específico da água= $1,0 cal/g^o C$ ; calor específico do gelo= $0,50 cal/g^oC$ ; calor latente de fusão da água= $80 cal/g$ .

Assunto abordado

Calorimetria e transição de fase

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Solução

Primeiramente devemos analisar qual o maior calor: O necessário para levar a água até $0^o C$ , ou o que faz com que todo o gelo passe para a fase líquida.

Para que a temperatura da água decresça até $0^o C$ , o calor necessário é:

$Q_1 = 2,0kg * (1,0 cal/g^o C) * 10^o C = 20 kcal$

Enquanto o calor para que o gelo todo funda, é:

$Q_2 = 0,30kg * 80 cal/g = 24,0 kcal$

Concluindo que toda a água decresce a $0^o C$ , fornecendo calor para que uma parte do gelo se torne líquido. No equilíbrio:

$Q_1 = m_{gelo} L$

$20 kcal = m_{gelo} 80 cal/g^o C$

$m_{gelo} = 0,25 kg$

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Gabarito

O sistema final é constituído de $0,05kg$ de gelo em equilbrio com $2,25kg$ de água a $0^o C$ .

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Questão 03:

Os registros históricos evidenciam que Eratóstenes foi o primeiro a medir o raio da Terra. Sabia-se que quando o Sol se encontrava mais ao norte – posição que chamamos solstício de inverno no hemisfério Sul – os raios solares eram verticais ao meio dia em Siene, hoje Assua no Egito. Esta conclusão vinha pelo fato de a imagem do Sol poder ser vista refletida no fundo de um poço. No mesmo instante em Alexandria, medindo-se o tamanho da sombra de um bastão na vertical, os raios solares estavam inclinados, fazendo um ângulo aproximado de $7,2^o$ com a vertical. Supondo os raios solares praticamente paralelos e sendo a distância de Alexandria a Siene dada por 5000 estádios - unidade antiga de medida correspondente hoje a $800km$ - qual foi o valor do raio da Terra medido por Erastótenes? Use $\pi=3$ .

Assunto abordado

Óptica Geométrica

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Solução

Como a diferença entre o ângulo dos raios solares nos dois pontos é igual a $7,2^o$ , essa é a distância angular deles em relação ao centro da Terra.

$R \Delta \theta = 800km$

$R=\frac{800km * 180}{7,2 * \pi}$

$R=6,66 * 10^3 km$

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Gabarito

$R=6,66 * 10^3 km$

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Questão 04:

Um pulverizador é projetado para atuar em terrenos inclinados. Ele pode lançar os produtos com velocidades variáveis de acordo com a pressão da bomba e, assim, cobrir uma determinada faixa do terreno. Do ponto A de um terreno inclinado lança-se um jato do produto com velocidade $v_0$ perpendicularmente, como mostra a figura. Quais os possíveis valores para a velocidade de lançamento para que a região pulverizada seja todo o plano?

Assunto abordado

Cinemática

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Solução

Para que a região pulverizada seja igual a todo o plano, a parte inferior deste deve ser o ponto final do lançamento. Dessa forma, analisaremos o eixo normal (perpendicular) ao plano (y'), e o eixo paralelo ao plano (x').

As equações do movimento nos eixo y' e x', respectivamente, são:

$\Delta y' = v_0 t - \frac{g \cos{\theta} t^2}{2}$

$\Delta x' = \frac{g \sin{\theta} t^2 }{2}$

O ponto final da trajetória será B se $\Delta x' = R$ quando $\Delta y' = 0$ . Logo:

$\frac{g \sin{\theta} t^2}{2}=R \rightarrow t^2 = \frac{2R}{g \sin{\theta}}$

Substituindo na equação de y':

$0 = v_0 t - \frac{g \cos{\theta} t^2}{2} \rightarrow v_0 = \frac{g \cos{\theta} t}{2}$

$v_0 = \frac{g \cos{\theta}}{2} \sqrt{\frac{2R}{g \sin{\theta}}}$

$v_0 =\sqrt{\frac{gR \cos{\theta}^2}{2 \sin{\theta}}}$

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Gabarito

$\sqrt{\frac{gR \cos{\theta}^2}{2 \sin{\theta}}} \underline{>}v_0>0$

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Questão 05:

No sistema de polias mostrado na figura ao lado, qual deve ser a força aplicada na extremidade livre da corda para levantar o objeto de $2 cm$ ?

Assunto abordado

Dinâmica

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Solução

Sendo as polias 1, 2 e 3 como mostradas abaixo, equacionaremos primeiro o equilíbrio das polias 1 e 2.

A tração da corda sem massa da polia 1 é a mesma (F) por toda sua extensão. Esta força é a mesma na polia 2. Se a corda da polia 3 tem uma tração T qualquer:

Polia 1: $T = 2F$

Polia 2: $T +2F = 2kg *g$

E como resultado:

$4F=2kg *g$

$F= 5N$

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Gabarito

$F = 5N$

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Questão 06:

Quando um carro com velocidade de $20m/s$ entra numa rua, o motorista vê outro carro a sua frente a uma distância d trafegando no mesmo sentido. Para evitar um acidente ele pisa imediatamente nos freios. Se o carro da frente estiver rodando à velocidade de $10m/s$ e a aceleração do primeiro carro, devido à frenagem é de $5 m/s^2$ , qual deve ser o menor valor de $d$ para que os carros não colidam?

Assunto abordado

Cinemática

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Solução

Devemos analisar o espaço percorrido por ambos os carros. Para isso, utilizaremos as equações de movimento do carro 1 (que inicia a $20m/s$ ) e do carro 2 (que inicia a $10m/s$ ).

$S_1=20t-\frac{5t^2}{2}$

$S_2=d+10t$

Para que os carros não colidam, quando a posição dos dois for a mesma, a velocidade relativa entre eles deve ser 0.

$20-5t=10$

$10=5t \rightarrow t=2s$

$20*2-\frac{5*4}{2}=d+10*2$

$d=10m$

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Gabarito

$d=10m$

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Questão 07:

Um cubo de certo material com densidade relativa (densidade em relação à água) $\rho>1$ está preso a um fio e totalmente imerso num béquer de $200g$ com $500 ml$ de água. Se a leitura na balança for $17N$ , qual é a medida da aresta do cubo? Dados: densidade da água $10^3 kg/m^3$ , $g=10m/s^2$ .

Assunto abordado

Dinâmica

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Solução

A força exercida na balança é igual ao peso do béquer e da água somados ao empuxo, visto que, por ação e reação, esta é a força que o líquido exerce no cubo, e portanto a força que o cubo exerce no líquido. Logo,

$17N=200g*10\frac{m}{s^2}+ 500ml*10^3 \frac{kg}{m^3}*10\frac{m}{s^2}+10^3 \frac{kg}{m^3}*10\frac{m}{s^2} * a^3$

$17N=2N+5N+a^3 *10^4$

$a^3=10*10^{-4}$

$a^3=10^{-3}$

$a=0,10$ $m$

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Gabarito

$a=0,10$ $m$

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Questão 08:

O cinematógrafo é um projetor de imagens representando cenas em movimento. Fendas verticais são posicionadas na periferia de um tambor. Na parte interna são colocadas, nos intervalos entre as fendas, imagens sucessivas de uma cena em movimento. Enquanto o tambor gira com certa velocidade, o observador tem a ilusão de que o objeto está se movendo. Um famoso fabricante de celulares anunciou recentemente que seu produto poderia produzir vídeos em full HD equivalente a uma taxa de $60$ quadros por segundo. Qual deveria ser a velocidade angular que um cinematógrafo com $15$ fendas deveria girar para obter a taxa de $60$ quadros por segundo?