OBF 2018 - Segunda Fase (Nível 1)

Cinemática

Durante o primeiro percurso, o carrinho está acelerando do repouso até que chega a uma certa velocidade $V$, que tem que ser a máxima. $V$ é a máxima porque depois que o primeiro percurso acaba, ela se mantém, e depois, no percurso $3$, ela diminui. O tempo total $T$ é a soma do tempo em cada percurso:

$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}$

E é dito no enunciado que $t_{2}=\frac{T}{2}$. Tal que:

$t_{1}+t_{3}=\frac{T}{2}$

Como, no primeiro percurso, o carro vai de $0$ até $V$ em velocidade, com aceleração constante, então sua velocidade média neste percurso é $\frac{V}{2}$. A mesma lógica vale para o percurso $3$, sendo a velocidade no começo do percurso $V$ e no final $0$, a velocidade média neste percurso deve ser também $\frac{V}{2}$. Portanto, a partícula tendo andando uma distância $d$ no total, com velocidade média $V_{m}$:

$d=V_{m} T=\frac{V}{2}t_{1}+V t_{2}+\frac{V}{2} t_{3}$

$V_{m} T=\frac{V}{2} (t_{1}+t_{2})+V \frac{T}{2}=V \frac{T}{4}+V \frac{T}{2}$

$V_{m}=\frac{3}{4} V$

Desta maneira, a velocidade máxima $V$ da partícula foi:

$V=\frac{4}{3} V_{m}$

$V=\frac{4}{3} V_{m}$

Cinemática

Primeiramente, devemos encontrar quantos caracteres esse usuário digita por segundo, convertendo as unidades do que nos foi dado (já que $1 min=60 s$). Seja $f$ a taxa de caracteres digitados por tempo:

$f=300 \frac{caracteres}{min}=300 \frac{caracteres}{60 s}=5,00 \frac{caracteres}{s}$

Perceba que a resposta final tem 3 algarismos significativos, igual ao número da expressão original. E, portanto, o quanto ele andou é a velocidade dele vezes o tempo que ele passou digitando, esse tempo que pode ser encontrado pela taxa de digitação $f$ dele e o número de caracteres que ele digitou.

$d=v*t=\frac{N v}{f}$

Onde $N$ é o número de caracteres, $f$ a taxa de caracteres por segundo e $v$ a velocidade dele. Contando o número de caracteres da expressão, você deve encontrar 236 caracteres, contando espaços e pontos. Portanto, a resposta final é:

$d=\frac{236 caracteres*1\frac{m}{s}}{5,00 \frac{caracteres}{s}}=\frac{236*1}{5,00} m$

$d=47,2 m \approx 5*10^{1} m$

Onde há uma certa subjetividade em como se deixar a resposta, pois o número com menor número de algarismos significativos da multiplicação feita foi a velocidade, com um algarismo significativo. Considerando apenas isto, a resposta final de $d$ deve ter apenas um algarismo significativo. Contudo, não fica claro se era isso que o autor da questão de fato queria, e o formato da resposta mais ideal é o indicado acima e no nosso Gabarito, que contém o resultado antes e depois da aproximação por significativos.

$d=47,2 m \approx 5*10^{1} m$

Cinemática

Considerando que a única força que as rochas sentem é a força gravitacional causada pela atração da Terra, então as rochas vão sofrer uma desaceleração vertical $g$ durante o seu voô. Como a aceleração da partícula será constante, então é valido usar o Teorema de Torriceli:

$\Delta v^{2}=v_{f}^{2}-v_{o}^{2}=2 a d$

Onde $a$ é a aceleração da partícula neste trecho, $d$ o quanto ela andou e $\Delta v^{2}$ a variação do quadrado da velocidade entre esses pontos. Usando Torriceli entre o momento em que a partícula é lançada e o momento em que ela para, i.e, chega em sua altura máxima:

$\Delta v_{y}^{2}=0-v^{2}=-2 g h$

Onde a gravidade foi colocada negativa por esta ser uma desaceleração nesse percurso. Portanto:

$v_{y}=\sqrt{2 g h}$

$v_{y}=\sqrt{2*10\frac{m}{s^{2}}*2,0*10^{3} m}=2,0*10^{2} \frac{m}{s}$

Onde a resposta final foi expressa com dois algarimos significativos pelo número com menos algarismos significativos na multiplicação ter dois.

$v_{y}=2*10^{2} \frac{m}{s}$

Cinemática

Para encontrar a resposta dessa questão você deve primeiro notar que a questão pergunta a velocidade escalar média, que é relacionada à distância que uma partícula se moveu num dado tempo, e não, necessariamente, ao quanto ela se moveu no espaço. Um movimento que comece num ponto e termine no mesmo ponto sempre tem velocidade vetorial nula, pois a partícula não se moveu efetivamente no espaço devido ao que ocorreu nesse meio tempo, contudo ela em geral terá velocidade escalar não nula pois ela percorreu uma curva ao longo desse movimento, que tem um tamanho, e portanto ela percorreu uma certa distância. O fato da velocidade pedida pela questão ser escalar é, inclusive, um grande alívio, pois o enunciado desta é um tanto quanto confuso. Apesar do movimento do estudante não ser tão claro pela questão, o que importa de fato é que o quanto ele andou em cada parte do movimento dele é descrito, e o tempo que ele levou em cada parte também, o que nos permite encontrar a velocidade escalar média facilmente. A distância total percorrida pelo estudante é:

$d=60+120+100+60=340$ $m$

Onde $60$ $m$ foi no primeiro quarteirão, $120$ $m$ no segundo (apesar de a questão falar primeiro), $100$ $m$ no terceiro (que seria segundo pela lógica da questão), e $60$ $m$ no último quarteirão. O tempo levado é descrito de mesma maneira, sendo:

$t=1,5+4,0+3,0+1,5=10,0$ $min$

Onde $1,5$ $min$ foi gasto da casa dele até a esquina, $4,0$ $min$ no segundo quarteirão, $3,0$ $min$ no terceiro quarteirão e $1,5$ $min$ no último quarteirão. Portanto, a velocidade escalar média é:

$v_{med}=\frac{d}{t}=\frac{340 m}{10,0 min}=34,0 \frac{m}{min}$

O resultado tem três algarismos significativos pois tanto o denominador quanto o numerador da divisão que o originou tem três algarismos significativos. Contudo, veja que este resultado não está no sistema internacional de unidades, e portanto precisamos o converter.

$v_{med}=\frac{34,0 m}{60 s} \approx 0,567 \frac{m}{s}$

Onde, apesar de $60$ ter dois dígitos, é preciso se analisar que este tem infinitos algarismos significativos, pois é uma constante definida e não um valor medido experimentalmente. Portanto, o resultado final da divisão de $34,0$ por $60$ deve ter o mesmo número de algarismos significativos que $34,0$, que é, no caso, 3.

$v_{med}=34,0 \frac{m}{min}\approx 0,567 \frac{m}{s}$

Algarismos Significativos e Matemática Básica

A massa da baleia é dada no texto, mais precisamente no trecho "Baleia-azul – Balaenoptera musculus - massa ~ 100 toneladas.", e a da formiga fantasma também, em "As Formigas fantasma - (Tapinoma melanocephalum) trabalhadoras tem 1,5 mm de comprimento e massa média de 100 miligramas". Portanto, apenas temos que fazer uma divisão básica entre a massa da baleia e da formiga, depois que convertemos a massa das duas para a mesma unidade, digamos kilograma. Portanto:

$M_{formiga}=100 miligramas=100*10^{-6} kg$

$M_{baleia}=100 toneladas=100*10^{3} kg$

Portanto:

$\frac{M_{baleia}}{M_{formiga}}=\frac{100*10^{3} kg}{100*10^{-6} kg}=1,00*10^{9} kg$

Onde deixamos a resposta final com três algarismos significativos pelo fato das variáveis dadas terem todos três algarismos significativos. Contudo, pelo fato da massa da baleia ter sido dada estimada $M \sim 100 toneladas$, seria mais adequado numa situação real deixar apenas um dígito significativo, como:

$\frac{M_{baleia}}{M_{formiga}}=1,00*10^{9} kg \sim 10^{9} kg$

Que é a resposta mais adequada de se deixar no gabarito.

$\frac{M_{baleia}}{M_{formiga}}=1,00*10^{9} kg \sim 10^{9} kg$

Energia e Força de Atrito

Os corpos vão iniciar o movimento com uma certa energia cinética, e esta será dissipada pela força de atrito que o chão exerce sobre eles. Pode-se dizer que a variação de energia cinética de um corpo é igual à resultante de trabalho de forças externas sobre ele, que no caso é apenas o trabalho da força de atrito. Inicialmente um dos corpos terá energia cinética $K$, e após parar terá zero, portanto:

$\Delta K=0-K=-K=W$

Onde $W$ é o trabalho das forças externas. A força de atrito sobre o corpo é cinética, pois ele se move em relação ao solo durante a aplicação desta, e portanto vale $F_{at}=\mu N$, onde $\mu$ é o coeficiente de atrito entre o corpo e o chão é $N$ é a força de reação normal do solo. Como o corpo está em equilíbrio na direção vertical, vale que $N=mg$, que é o peso do corpo. Portanto, pela definição de trabalho:

$W=\vec{F} \cdot \vec{d}=-F_{at} d=-K$

$K=\mu m g d$

A razão da energia cinética entre os corpos $1$ e $2$ é portanto:

$\frac{K_{1}}{K_{2}}=\frac{m_{1} d_{1}}{m_{2} d_{2}}$

A massa dos corpos é dada por $m=\rho V$, onde $\rho$ é a densidade deles, que é igual, e $V$ seu volume. O volume de um cubo de lado $a$ é igual a $V_{1}=a^{3}$, e o de um cilindro de raio $r$ e altura $h$ é $V_{2}=\pi r^{2} h$, e como $2 r=h=a$, este é $V_{2}=\frac{\pi a^{3}}{4}$. Portanto, vale que:

$\frac{K_{1}}{K_{2}}=\frac{V_{1} d_{1}}{V_{2} d_{2}}=\frac{4*d_{1}}{\pi d_{2}}=\frac{12}{\pi}$

A questão terminaria aí normalmente, contudo como a OBF dá o valor de $\pi$ como sendo $3$ no início de qualquer prova, você deve simplificar a resposta para:

$\frac{K_{1}}{K_{2}}\approx\frac{12}{3}=4$

Onde a aproximação foi feita para deixar um algarismo significativo de resposta, pois todos dados foram dados com um significativo. Contudo, é bom em geral você colocar o valor exato no gabarito seguido pela sua aproximação, assim como é colocado na secção "Gabarito" dessa solução.

$\frac{K_{1}}{K_{2}}=\frac{12}{\pi} \approx 4$

Termometria

a) Supondo que a relação da tempertura do termômetro usado com a do termômetro correto é linear, podemos dizer ela é do tipo:

$T_{errado}=T_{celsius}*a+b$

Onde $a$ e $b$ são constantes a se encontrar. Usando a relação no ponto de fusão e ebulição da água:

$T_{errado}=-2 C^{\circ}=0*a+b \leftrightarrow b=-2 C^{\circ}$

$T_{celsius}=108=100*a+b$

$a=\frac{110}{100}=1,10$

Tal que:

$T_{errado}=1,10*T_{celsius}-2$

Na temperatura que o termômetro mal regulado estiver correto, vale $T_{errado}=T_{celsius}=T$, portanto:

$T=1,10*T-2$

$0,10*T=2$

$T=2*10 C^{\circ}$

Onde deixamos a resposta com um algarismo significativo pelo fato do número na multiplicação com menos algarismos significativos ser o $2$, com um algarismo significativo.

b) A cada variação de um na escala usada deve se fazer uma marca no termômetro. Da fusão à ebulição, o líquido do termômetro vai percorrer uma certa distância $l$, e sendo $d$ a distância entre duas marcas da escala usada e $N$ o número de marcações entre a fusão do gelo e ebulição da água:

$N d=l$

Num mesmo termômetro, a escala errada e a escala Celsius vão percorrer o mesmo tamanho $l$ entre a fusão do gelo e ebulição da água, portanto:

$N_{errado} d_{errado}=N_{celsius} d_{celsius}$

Como $d_{celsius}=1,10 cm$, $N_{errado}=110$ e $N_{celsius}=100$, vale:

$d_{errado}=\frac{100}{110}*1,1 mm=1,0 mm$

Onde o resultado tem dois algarismos significativos pelo fato do fator na multiplicação com menos algarismos significativos ter dois significativos.

a) $T=2*10 C^{\circ}$

b) $d_{errado}=1,0 mm$

Cinemática

a) Vale para o movimento uniformemente acelerado que a posição $S(t)$ da partícula num tempo $t$, e sua velocidade $v(t)$ num tempo $t$, dado que ela estava em $S_{o}$, com velocidade $v_{o}$ e aceleração $a$ em $t=0$:

$S=S_{o}+v_{o} t+\frac{1}{2} at_{2}$

Sendo a aceleração $a$ uma constante. A função $S(t)$ é portanto de segundo grau, e seu gráfico no tempo é uma parábola. Em $t=0$, $S=5 m$, portanto $S_{o}=5 m$. Ademais, temos que a partícula vai parar no ponto do gráfico que corresponde ao vértice da parábola, pois já que a velocidade é numericamente igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva num ponto, a velocidade vai ser zero no ponto em que a reta tangente à curva é horizontal. A velocidade $v(t)$, no caso da velocidade constante, é:

$v(t)=v_{o}+at$

Sendo $v(t)=0$ em $t=2 s$:

$0=v(0)+2 s*a$

$v(0)=-2 s*a$

Também é possível ver que, em $t=5 s$, $S(t)$ é zero, e portanto:

$0=5-2 s*a*5+\frac{1}{2}*a*25$

$a=-2 \frac{m}{s^{2}}$

Onde a aceleração foi expressa com um significativo pelo fato de o número com menos significativos na multiplicação usada para manipular a expressão foi $S_{o}=5$ m, que tinha um algarismo significativo.

b) A posição no momento em que a partícula muda de sentido é simplesmente a posição no vértice da parábola, i.e, a posição em $t=2$ s. Portanto:

$S(t)=5-2*(-2)*2+\frac{1}{2}*(-2)*4$

$S(2)=9 m$

Onde a resposta foi expressa até o dígito das unidades, porque todos termos na soma são expressos com dígitos até a unidade.

a) $a=-2$ $\frac{m}{s^{2}}$

b) $S(2)= 9$ $m$